Кольцо (теория множеств)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A, B из кольца элементы A \cap  B и A \triangle B тоже будут лежать в кольце.

Кольцо множеств как алгебраическое кольцо[править | править вики-текст]

С точки зрения алгебраической структуры кольцо множеств представляет собой ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой [1].

Свойства колец[править | править вики-текст]

  • Пустое множество принадлежит любому кольцу (так как \varnothing = A \triangle A).
  • Объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B).
  • Разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как A \backslash B = A \triangle (A \cap B).
  • Прямое произведение колец является полукольцом, но не обязано быть кольцом.

Расширения и сужения понятия[править | править вики-текст]

Кольцо является частным случаем полукольца. Более того, каждое полукольцо добавлением какого-то количества элементов можно превратить в кольцо. Минимальным кольцом, порождённым данным полукольцом S, называется такое R, что его содержит любое кольцо, содержащее S. Для каждого полукольца S такое R существует и единственно, оно состоит из всевозможных конечных объединений элементов S.

Алгеброй называется кольцо с единицей, то есть таким элементом E, что пересечение E с любым элементом A равно A. Сигма-кольцом называется кольцо, замкнутое относительно счётных объединений элементов, а дельта-кольцом — замкнутое относительно счётных пересечений. Аналогично определяется сигма-алгебра (при этом любая дельта-алгебра является сигма-алгеброй и наоборот).

Примеры[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2009 - с. 48