Коммутатор (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коммутатором операторов \hat A и \hat B в алгебре, а также квантовой механике называется оператор [\hat A, \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутатором[править | править вики-текст]

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

  • [A,BC] = [A,B]C + B [A,C]. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора D_A = [A,\cdot]. По этой причине оператор D_A называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор \tilde D_A = [\cdot,A].
  • Тождество Якоби: [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0. Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
  • [AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0. Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
  • [[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]

Коммутатор в квантовой механике[править | править вики-текст]

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора \hat F физической величины f на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам \hat F, при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

\hat F \mathcal{j}\psi \mathcal{i}= f \mathcal{j} \psi \mathcal{i}

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

\hat F \hat G \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = g \hat F \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = g f \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = \hat G \hat F \mathcal{j} \psi \mathcal{i}

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) \hat p_x = - i \hbar \frac {\partial}{\partial x} и соответствующей координаты \hat x = x (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения[править | править вики-текст]

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

\imath \hbar \frac {\partial \psi}{\partial t} = \hat H \psi

и определения полной производной оператора по времени

\dot {\hat f} = \hat {\dot f}

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

\dot {\hat f} = {\imath \over \hbar} [\hat H, \hat f]+ \frac {\partial \hat f}{\partial t}

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

\dot f = \mathcal{f} H,f \mathcal{g} + \frac {\partial f}{\partial t}

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации[править | править вики-текст]

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

\hat r_i, \hat p_i, \hat L_i — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; \delta_{i j} — дельта Кронекера; e_{i j k} — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.
[\hat r_i, \hat p_j] = \imath \hbar \delta_{i j}
[\hat p, f(\vec r)] = - \imath \hbar \nabla f
[\hat L_i, \hat r_j] = \imath \hbar e_{i j k}\hat r_k
[\hat L_i, \hat p_j] = \imath \hbar e_{i j k}\hat p_k
[\hat L_i, \hat L_j] = \imath \hbar e_{i j k}\hat L_k
[\hat L^2, \hat L_i] = 0

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: \ \hat L_j = \hbar \hat l_j

[\hat l_i, \hat r_j] = \imath e_{i j k}\hat r_k
[\hat l_i, \hat p_j] = \imath e_{i j k}\hat p_k
[\hat l_i, \hat l_j] = \imath e_{i j k}\hat l_k
[\hat l^2, \hat l_i] = 0

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин[править | править вики-текст]

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины[править | править вики-текст]

Некоммутирующими величинами A и B называются величины, коммутатор которых [A,B] = AB - BA \neq 0.

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда когда их операторы коммутируют[1].

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]