Компактификация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.

Формально компактификация пространства X определяется как пара (Y,\;f), где Y компактно, f:X \to Y гомеоморфизм на свой образ f(X) и f(X) плотно в Y.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства X можно ввести частичный порядок. Положим f_1 \leqslant f_2 для двух компактификаций f_1: X \to Y_1, f_2: X \to Y_2, если существует непрерывное отображение g: Y_2 \to Y_1 такое, что g f_2 = f_1. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается \beta X. Для того, чтобы у пространства X существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы X удовлетворяло аксиоме отделимости T_{3\frac{1}{2}}, т.е. было вполне регулярным.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть Y=X \cup \{\infty\} и открытыми множествами в Y считаются все открытые множества X, а также множества вида O \cup \{\infty\}, где O \subseteq X имеет компактное (в X) дополнение. f берётся как естественное вложение X в Y. (Y,\; f) тогда компактификация, причём Y хаусдорфово тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно.

Примеры одноточечной компактификации[править | править вики-текст]

\R \cup \{\infty\} с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с \R (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с \R \cup \{\infty\}. Аналогично, \mathbb R^n \cup \{\infty\} гомеоморфно c n-мерной гиперсферой.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».