Компактификация Стоуна — Чеха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Компактификация Стоуна — Чеха пространства X обычно обозначается как \beta X.

Компактификацию Стоуна — Чеха можно определить при помощи универсального свойства. Как и любое универсальное свойство, оно является достаточным для определения компактификации с точностью до изоморфизма, однако для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

История[править | править исходный текст]

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым[1] в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном (англ.) [2] и Эдуардом Чехом[3].

Универсальное свойство[править | править исходный текст]

\beta X — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из X, удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение f:X\to K в компактное хаусдорфово пространство K можно однозначно продолжить до непрерывного отображения \beta f: \beta X\to K, такого что следующая диаграмма коммутативна:

Stone–Cech compactification.png

В случае, если исходное пространство X было вполне регулярным, отображение X\to\beta X является гомеоморфизмом X на образ этого отображения (то есть вложением).

Конструкция[править | править исходный текст]

Обозначим через A множество всех непрерывных функций \alpha\colon X\to [0,1]. Можно проверить, что отображение F:X\to [0,1]^A (тихоновский куб), определяемое равенством

x\mapsto (\alpha(x))_{\alpha\in A},

является гомеоморфизмом X на свой образ F(X)\subset [0,1]^A. Замыкание F(X) в [0,1]^A и будет искомой компактификацией.

Свойства[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, — Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544—561
  2. Stone, M.H. (1937), Applications of the theory of Boolean rings to general topology, — Trans. Amer. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375—481
  3. Čech, E. (1937), On bicompact spaces, — Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823—844

Литература[править | править исходный текст]