Компланарность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости[1].

Обозначения[править | править вики-текст]

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарности[править | править вики-текст]

Пусть \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} — векторы пространства \mathbb{R}^n. Тогда верны следующие утверждения:

  • Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  • Смешанное произведение компланарных векторов \left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right) = 0. Это — критерий компланарности трёх векторов.
  • Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
  • Существуют действительные числа \;\lambda_1, \lambda_2 такие, что \vec{a} = \lambda_1\vec{b}+\lambda_2\vec{c} для компланарных \vec{a},\vec{b},\vec{c}, за исключением случаев \vec{b}=\vec{0} или \vec{c}=\vec{0}. Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
  • В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора \vec{a},\vec{b},\vec{c} образуют базис. То есть любой вектор \vec{d} можно представить в виде: \vec{d}=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}+x_3\vec{c}. Тогда \;\{x_1, x_2, x_3\} будут координатами \vec{d} в данном базисе.

Другие объекты[править | править вики-текст]

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1975, § 115

См. также[править | править вики-текст]