Комплексное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$ . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x + i y$ , где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению $i 2 = - 1$ .^[2]

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Содержание

1 Определения
2 Действия над комплексными числами
3 Связанные определения
- 3.1 Сопряжённые числа
4 Представление комплексных чисел
5 История
6 Функции комплексного переменного
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

[править] Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен $z 2 + 1$ имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел $\R$ , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена $z 2 + 1$ .

[править] Стандартная модель

Формально, комплексное число $z$ — это упорядоченная пара вещественных чисел $(x, y)$ с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

$(x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');$
$(x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').$

Вещественные числа представлены в этой модели парами вида $(x,\;0)$ , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой $i=(0,\;1)$ .

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.

[править] Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

$\begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix}$

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$

мнимой единице —

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.$

[править] Замечания

Ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $x 2 = - 1$ , так как число $( - i)$ также удовлетворяет этому уравнению.
Следует также заметить, что выражение $\sqrt{-1}$ , ранее часто использовавшееся вместо $i$ , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде $5+\sqrt{-3}$ считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как $5+i\sqrt{3}$ . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

$\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{(-3) \cdot (-3)} = \sqrt{9}= 3$ , в то время как правильный ответ:

- 3

.

[править] Действия над комплексными числами

Сравнение

$a + b i = c + d i$ означает, что $a = c$ и $b = d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i .$
Вычитание

$(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i .$
Умножение

$(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.$
Деление

$\frac{(a+bi)}{(c+di)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.$

[править] Связанные определения

Пусть $x$ и $y$ — вещественные числа такие, что комплексное число $z = x + i y$ (обычные обозначения). Тогда

Числа или и или называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z.
- Если $x = 0$ , то $z$ называется мнимым или чисто мнимым.
Число $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ называется модулем числа $z$ . Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

$|z|\geqslant 0$ , причём $| z | = 0$ тогда и только тогда, когда $z = 0$ ;

$|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|$ (неравенство треугольника);

$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|;$

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}.$
Угол $\varphi$ такой, что: $\cos\varphi=\frac{x}{|z|}$ и $\sin\varphi=\frac{y}{|z|}$ , называется аргументом $z$ . Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2 k π$ , где $k$ — любое целое число. Из определения следует, что $\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{y}{x}$ .

[править] Сопряжённые числа

Если комплексное число $z = x + i y$ , то число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ (обозначается также $z *$ ).

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

$\bar\bar z=z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
$z\cdot \bar z=|z|^2.$
$\overline{z_1\pm z_2}=\bar{z}_1\pm\bar{z}_2.$
$\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2.$
$\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2.$

Обобщение: $\overline{p(z)}=p(\bar z)$ , где $p (z)$ — произвольный комплексный многочлен.

$|\bar{z}|=|z|$ (модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного).
$\mathrm{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\mathrm{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.$

[править] Представление комплексных чисел

[править] Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x + i y$ , $x,\;y\in\R$ , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что $i 2 = - 1$ ):

(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d);

$(a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).$

[править] Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r = | z |$ и аргумент $\varphi$ ( $x=r\cos\varphi$ , $y=r\sin\varphi$ ), то всякое комплексное число $z$ , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

$z=re^{i\varphi},$

где $e^{i\varphi}$ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

$\cos\varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2};\quad\sin\varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}.$

[править] Геометрическое представление

Геометрическое представление комплексного числа

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами $x$ и $y$ (или её радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки. Такая плоскость называется комплексной.

Отметим, что для пары комплексных чисел $z 1$ и $z 2$ модуль их разности $| z 1 - z 2 |$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.

[править] Формула Муавра

Основная статья: Формула Муавра

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n=[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),$

где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$ -ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=[r(\cos(\varphi+2\pi k)+i\sin(\varphi+2\pi k))]^{1/n}=$

$=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$

$k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1.$

Отметим, что корни $n$ -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$ . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

[править] История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$ , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».^[3]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

[править] Функции комплексного переменного

Основная статья: Комплексная функция

[править] См. также

Кватернионы
Гиперкомплексные числа — конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.
Комплексная функция
Комплексный анализ

[править] Примечания

↑ Школьная энциклопедия «Математика» (издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996 год) указывает ударение компле́ксный. Большая советская энциклопедия, «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ
↑ В физике, в особенности в теории электрических цепей, символ $\scriptstyle{i}$ иногда заменяют на $\scriptstyle{j}$ , чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ( $\scriptstyle{i}$ ).
↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.

[править] Ссылки

Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002
Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308
Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
Простой калькулятор комплексных чисел
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5.
CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.

[0] Школьная энциклопедия «Математика» (издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996 год) указывает ударение компле́ксный. Большая советская энциклопедия, «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ

[1] В физике, в особенности в теории электрических цепей, символ $\scriptstyle{i}$ иногда заменяют на $\scriptstyle{j}$ , чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ( $\scriptstyle{i}$ ).

[2] Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.

[1]

[2]

[3]

п·о·р Числа
Простые	натуральные \| целые \| рациональные \| иррациональные \| вещественные \| p-адические \| алгебраические \| трансцендентные
Составные	комплексные \| дуальные \| двойные \| кватернионы \| числа Кэли (октавы) \| седенионы \| гиперкомплексные