Комплексное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$ . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x + i y$ , где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению $i 2 = - 1$ .^[2].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Содержание

1 Определения
2 Действия над комплексными числами
3 Связанные определения
- 3.1 Сопряжённые числа
4 Представление комплексных чисел
5 История
6 Функции комплексного переменного
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

[править] Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен $z 2 + 1$ имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел $\R$ , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена $z 2 + 1$ .

[править] Стандартная модель

Формально, комплексное число $z$ — это упорядоченная пара вещественных чисел $(x, y)$ с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

$(x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,$
$(x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,$

Вещественные числа представлены в этой модели парами вида $(x,0)$ , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой $i=(0,1) \,$ .

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.

[править] Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

$\begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix}$

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$

, мнимой единице —

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

[править] Замечания

Ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $x 2 = - 1$ , так как число $( - i)$ также удовлетворяет этому уравнению.
Следует также заметить, что часто используемое выражение $i=\sqrt{-1}$ не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

[править] Действия над комплексными числами

Сравнение

$a + b i = c + d i$ означает, что $a = c$ и $b = d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
Вычитание

$(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$
Умножение

$(a + b i)(c + d i) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = (a c - b d) + (b c + a d) i$
Деление

$\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$

[править] Связанные определения

Пусть $~x$ и $~y$ — вещественные числа такие, что комплексное число $~z=x+iy$ (обычные обозначения). Тогда

Числа или и или называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z.
- Если $x = 0$ , то $z$ называется мнимым или чисто мнимым.
Число $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ называется модулем числа $z$ . Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

$| z | \geqslant 0 \,$ , причём $| z | = 0 \,$ тогда и только тогда, когда $z = 0 \,$

$| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \,$ (неравенство треугольника)

$| z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,$

$| z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,$
Угол $\varphi$ такой, что: $\cos \varphi = \frac {x} {|z|}$ и $\sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~$ , называется аргументом $z$ . Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2 k π$ , где $k$ — любое целое число. Из определения следует, что $\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}$ .

[править] Сопряжённые числа

Если комплексное число $z = x + i y$ , то число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ (обозначается также $z *$ ).

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

$\bar \bar z = z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное)
$z \cdot \bar z = |z|^2$
$\overline {z_1 \pm z_2} = \bar {z_1} \pm \bar {z_2}$
$\overline {z_1 \cdot z_2} = \bar z_1 \cdot \bar z_2$
$\overline {z_1 / z_2} = \bar z_1 / \bar z_2$

Обобщение: $\overline {p(z)} = p(\bar z)$ , где $p (z)$ — произвольный комплексный многочлен.

$|\bar{z}| = |z|$ (модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного)
$\operatorname{Re}\ z=\frac {z+\bar z}{2}; \quad \operatorname{Im}\ z=\frac {z-\bar z}{2i}$

[править] Представление комплексных чисел

[править] Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $~z$ в виде $~x + iy$ , $~x,y\in\R$ , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что $~i^2 = -1$ ):

$~(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)$

$~(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i^2bd = ac + iad + ibc - bd = (ac-bd) + i(ad+bc)$

[править] Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $~r=|z|$ и аргумент $\varphi$ ( $x=r\cos\varphi$ , $y=r\sin\varphi$ ), то всякое комплексное число $z$ , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$ .

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера

$z=re^{i\varphi}$ ,

где $e^{i\varphi}$ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

$\cos\ \varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2}; \quad \sin\ \varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}$

[править] Геометрическое представление

Геометрическое представление комплексного числа

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами $x$ и $y$ (или её радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки. Такая плоскость называется комплексной.

Отметим, что для пары комплексных чисел $z_1\,$ и $z_2\,$ модуль их разности: $|z_1-z_2|\,$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.

[править] Формула Муавра

Основная статья: Формула Муавра

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi)$ ,

где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} =$
$= r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$
$\quad k=0,1...n-1$

Отметим, что корни $n$ -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$ . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

[править] История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$ , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».^[3]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

[править] Функции комплексного переменного

Основная статья: Комплексная функция

[править] См. также

Кватернионы
Гиперкомплексные числа — конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.
Комплексная функция
Комплексный анализ

[править] Примечания

↑ Школьная энциклопедия «Математика» (издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996 год) указывает ударение компле́ксный. Большая советская энциклопедия, «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ
↑ В физике символ i иногда заменяют на j, чтобы не путать с стандартным обозначением электрического тока (i)
↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.

[править] Ссылки

Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002
Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308
Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
Простой калькулятор комплексных чисел
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5
CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.

Числа

[0] Школьная энциклопедия «Математика» (издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996 год) указывает ударение компле́ксный. Большая советская энциклопедия, «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ

[1] В физике символ i иногда заменяют на j, чтобы не путать с стандартным обозначением электрического тока (i)

[2] Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.

[1]

[2]

[3]