Комплексное число

Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. Мнимые числа), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x+iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен $z^2+1$ имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел $\R$, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена $z^2+1$.

Стандартная модель

Комплексное число $z$ можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел $(x, y)$. Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

• $(x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');$
• $(x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').$

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида $(x,\;0)$, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой $0=(0,\;0),$ единица — $1=(1,\;0),$ а мнимая единица — $i=(0,\;1).$ На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен $(-1,\;0)$, то есть $-1.$

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

$\begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix}$

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$

мнимой единице —

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.$

Замечания

Ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $x^2=-1$, так как число $(-i)$ также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение $\sqrt{-1}$, ранее часто использовавшееся вместо $i$, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде $5+\sqrt{-3}$ считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как $5+i\sqrt{3}$. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

$\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{(-3) \cdot (-3)} = \sqrt{9}= 3,$

в то время как правильная запись приводит к иному ответу:

$\left(i\sqrt{3}\right) \cdot \left(i\sqrt{3}\right) = i \cdot i \cdot \sqrt{9} = -3.$

Действия над комплексными числами

• Сравнение

  $a+bi=c+di$ означает, что $a=c$ и $b=d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$

• Вычитание

  $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$

• Умножение

  $(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

• Деление

  $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.$

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу $~z=x+iy$ сопоставим точку плоскости с координатами $\{x,y\}$ (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть $~z=x+iy$ — комплексное число, где $~x$ и $~y$ — вещественные числа. Числа $x = \Re(z)$ или $\operatorname{Re} ~z$ и $y = \Im(z)$ или $\operatorname{Im} ~z$ называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями $z$.

• Если $x=0$, то $z$ называется мнимым или чисто мнимым числом.
• Если $y=0$, то $z$ является действительным (вещественным) числом.

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа $z$ обозначается $|z|$ и определяется выражением $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$. Часто обозначается буквами $~r$ или $~\rho$. Если $z$ является вещественным числом, то $|z|$ совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ имеют место следующие свойства модуля. :

1) $| z | \geqslant 0 \,$, причём $| z | = 0 \,$ тогда и только тогда, когда $z = 0 \,$;;

2) $| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \,$ (неравенство треугольника);

3) $| z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,$;

4) $| z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,$.

Из третьего свойства следует $|a\cdot z| = |a|\cdot |z|$, где $a\in \mathbb{R}$. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем $\mathbb{R}$.

5) Для пары комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ модуль их разности $|z_1-z_2|$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол $\varphi$ (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу $z$, называется аргументом числа $z$ и обозначается $~\operatorname{Arg} (z)$.

• Из этого определения следует, что $\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}$; $\cos \varphi = \frac {x} {|z|}$; $\sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~$.
• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2 k \pi$, где $k$ — любое целое число.
• Главным значением аргумента называется такое значение $\varphi$, что $-\pi<\varphi\leqslant\pi$. Часто главное значение обозначается $~\operatorname{arg} (z)$. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: $~\operatorname{arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{arg}(z)$.

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число $z=x+iy$, то число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ (обозначается также $z^*$). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

• $\bar{\bar{z}} = z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
• $z\cdot \bar z=|z|^2.$
• $\overline{z_1\pm z_2}=\bar{z}_1\pm\bar{z}_2.$
• $\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2.$
• $\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2.$

Обобщение: $\overline{p(z)}=p(\bar z)$, где $p(z)$ — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

• $|\bar{z}|=|z|$
• $\mathrm{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\mathrm{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.$

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2$.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x+iy$, $x,\;y\in\R$, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что $i^2=-1$):

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);$

$(a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).$

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r=|z|$ и аргумент $\varphi$ ($x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$), то всякое комплексное число $z$, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

$z=re^{i\varphi},$

где $e^{i\varphi}$ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

$\cos\varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2};\quad\sin\varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}.$

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n=[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),$

где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$-ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=[r(\cos(\varphi+2\pi k)+i\sin(\varphi+2\pi k))]^{1/n}=$

$=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$

$n>1, k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1.$

Отметим, что корни $n$-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Вариации и обобщения

• Гиперкомплексные числа
  • Кватернионы
  • Двойные числа
  • Дуальные числа
  • Алгебра Кэли (октавы)
• Алгебра Клиффорда

Функции комплексного переменного

• Гамма-функция
• Гиперболические функции
• Дзета-функция Римана
• Комплексный анализ
• Комплексный логарифм
• Показательная функция
• Степенная функция
• W-функция Ламберта

См. также

• Комплексный анализ

Литература

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002
• Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5..

Ссылки

• Простой калькулятор комплексных чисел.
• CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.

$1,\;2,\;\ldots$ Натуральные числа $0,\;1,\;-1,\;\ldots$ Целые числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$ Рациональные числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$ Вещественные числа $-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$ Комплексные числа
$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$	Кватернионы