Комплексное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. мнимые числа[2]) — числа вида x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: i^2=-1). Множество всех комплексных чисел обычно обозначается \mathbb{C} от лат. complex — тесно связанный.

Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число[3]. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики.

Определения

Стандартная модель

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y); запись x+iy следует понимать как удобный способ записи пары (x, y).

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

  • (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');
  • (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида (x,\;0), причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой 0=(0,\;0), единица — 1=(1,\;0), а мнимая единица — i=(0,\;1). На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен (-1,\;0), то есть -1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

\begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix}

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},

мнимой единице —

\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.


Замечания

Определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению  x^2=-1 — ошибочно, так как число (-i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение \sqrt{-1}, ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как арифметический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Во избежание ошибок, выражение с корнями отрицательных величин в настоящее время принято записывать как 5+i\sqrt{3}, а не 5+\sqrt{-3}, несмотря на то, что вплоть до конца XIX века второй вариант записи считался допустимым.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{(-3) \cdot (-3)} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9}= 3.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

\left(i\sqrt{3}\right) \cdot \left(i\sqrt{3}\right) = \left(i \cdot \sqrt{3}\right)^2 = i^2 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 = -3.

Действия над комплексными числами

  • Сравнение
    a+bi=c+di означает, что a=c и b=d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
  • Сложение
    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
  • Вычитание
    (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
  • Умножение
    (a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
  • Деление
    \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.
    • В частности,
      \frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i.

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу ~z=x+iy сопоставим точку плоскости с координатами \{x,y\} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть ~z=x+iy — комплексное число, где ~x и ~y — вещественные числа. Числа x = \Re(z) или \operatorname{Re} ~z и y = \Im(z) или \operatorname{Im} ~z называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z.

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается |z| и определяется выражением |z| = \sqrt{x^2+y^2}. Часто обозначается буквами ~r или ~\rho. Если z является вещественным числом, то |z| совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} имеют место следующие свойства модуля. :

1)  | z | \geqslant 0 \,, причём  | z | = 0 \, тогда и только тогда, когда  z = 0 \,;
2)  | z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \, (неравенство треугольника);
3)  | z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,;
4)  | z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,.

Из третьего свойства следует |a\cdot z| = |a|\cdot |z|, где a\in \mathbb{R}. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем \mathbb{R}.

5) Для пары комплексных чисел z_1 и z_2 модуль их разности |z_1-z_2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол \varphi (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается ~\operatorname{Arg} (z).

  • Из этого определения следует, что \operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x} ; \cos \varphi = \frac {x} {|z|}; \sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~.
  • Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2 k \pi, где k — любое целое число.
  • Главным значением аргумента называется такое значение \varphi, что -\pi<\varphi\leqslant\pi. Часто главное значение обозначается ~\operatorname{arg} (z)[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: ~\operatorname{arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{arg}(z).

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z=x+iy, то число \bar z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (часто обозначается также z^*). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

  • \bar{\bar{z}} = z (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число:

  • z\cdot \bar z=|z|^2.
  • z + \bar z=2Re(z).

Другие соотношения:

  • \overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2.
  • \overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2.

Обобщение: \overline{p(z)}=p(\bar z), где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. Из этого следует, что многочлен с вещественными коэффициентами имеет либо только действительные корни, либо, если он имеет корни с ненулевой мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряжённых.

Произведение комплексно-сопряженных чисел важно в квантовой механике: не имеющая физического смысла комплексная волновая функция, исчерпывающе описывающая систему микрочастиц, будучи умноженной на своё комплексное сопряжение даёт имеющую физический смысл плотность вероятности нахождения частицы в рассматриваемой точке.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

  • |\bar{z}|=|z|
  • \mathrm{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\mathrm{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x+iy, где x и y\in\R, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i^2=-1):

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);
(a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).

Тригонометрическая форма

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент \varphi (x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).

Показательная форма

Применяя формулу Эйлера к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

z=re^{i\varphi},

где e^{i\varphi} — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

\cos\varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2};\quad\sin\varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}.

Свойства

Основная теорема алгебры

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

z^n=[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),

где r — модуль, а \varphi — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формула справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}=[r(\cos(\varphi+2\pi k)+i\sin(\varphi+2\pi k))]^{1/n}=
=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),
n>1, k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1.

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса \sqrt[n]{r} с центром в начале координат (см. рисунок).

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении дают 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение для одного из слагаемых, и нашёл его корни: 5+\sqrt{-15} и 5-\sqrt{-15}. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны» и «Арифметические соображения становятся все более неуловимыми, достигая предела столь же утонченного, сколь и бесполезного»[3]. Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые описал Бомбелли (1572). Он же впервые описал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, однако всё равно считал их бесполезной и хитроумной «выдумкой»[3].

Выражения, представимые в виде a+b\sqrt{-1}, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVIXVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность[3], и для многих других крупных ученых XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными, так же как сомнительными в то время считали и иррациональные числа, и даже отрицательные величины. Лейбниц, например, писал[когда?]: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на это, математики смело применяли формальные методы алгебры вещественных величин и к комплексным, получали корректные вещественные результаты даже из промежуточных комплексных, и это не могло не начать внушать доверие.[3]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ i для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius — мнимый. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. [источник не указан 556 дней]

Существенно ранее, в 1685 году в работе «Алгебра» Валлис (Англия) показал, что комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами можно представить геометрически, точками на плоскости. Но это прошло незамеченным.[3] Следующий раз геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось в работе Весселя (1799). Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл[когда?] Коши. Таким образом было обнаружено, что комплексные числа пригодны и для выполнения чисто алгебраических операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов на плоскости, что сильно изменило векторную алгебру.

В развитие этого подхода начались поиски способа аналогично представить и вектора в трёхмерном пространстве. В результате пятнадцатилетних поисков[3], в 1843 году Гамильтон предложил обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными; также ему пришлось отказаться от коммутативности операции умножения.

Позднее, в 1919 году, стало понятно, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, так же известной как Процедура Кэли — Диксона[5]. Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «Числа Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры названы Седенионы. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют.

Вариации и обобщения

Функции комплексного переменного

См. также

Примечания

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
    • Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей указывают варианты: «ко́мплексный» и «компле́ксный (матем.)».
  2. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 Клайн Морис Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 14-15.
  5. Dickson, L. E. (1919), "«On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem»", en:Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 

Литература

Ссылки