Комплексный анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ко́мпле́ксный ана́лиз^[1], тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного (или ко́мпле́ксной переме́нной; сокращенно — ТФКП) — раздел математического анализа, в которой рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Содержание

1 Общие понятия
2 Дифференцирование
- 2.1 Определение
- 2.2 Геометрический смысл
3 Интегрирование
4 Приложения в вещественном анализе
5 История
6 См. также
7 Примечания
8 Литература

[править] Общие понятия

Для начала отметим, что каждая комплексная функция $w = f (z) = f (x + i y)$ может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции $u$ , $v$ называются компонентами комплексной функции $f (z)$ .

Понятие предела функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если $\lim_{z \to a+bi}f(z) = A+Bi$ , то $\lim_{x \to a, y \to b}u(x,y) = A$ и $\lim_{x \to a, y \to b}v(x,y) = B$ , и обратно.

Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше. Например, нет аналога теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.

[править] Дифференцирование

[править] Определение

Производная для комплексной функции одного аргумента $w = f (z)$ определяется так же, как и для вещественной:

$f^\prime(z) = \frac{dw}{dz} = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,$ .

(здесь $h$ — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

$f(z+h)-f(z) = \frac{df}{dz} \cdot h + o(h)$

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к $z$ с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент $u, v$ и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}; \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,$

Другими словами, гладкость $u$ и $v$ не гарантирует дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки $z$ комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична в этой окрестности.
Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0; \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0\,$

Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши-Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида $u + i v$ , где $u, v$ — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

[править] Геометрический смысл

Каждая комплексная функция $w = f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ определяет некоторое отображение комплексной плоскости $(x, y)$ на другую комплексную плоскость с координатами $u, v$ . При этом выражение:

$\left |\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\right |$

при малом $h$ геометрически можно истолковать как коэффициент растяжения, которое выполняет данное отображение при переходе от точки $z$ к точке $z + h$ . Тогда существование предела этого выражения, то есть модуля производной, означает, что коэффициент растяжения одинаков в любом направлении от точки $z$ .

Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку $z$ . Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике^[2].

[править] Интегрирование

Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от $a$ до $b$ на комплексной плоскости не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути.

Пусть уравнение $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ определяет некоторую кусочно-гладкую кривую $γ$ в комплексной плоскости, а функция $~f(z)$ определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на $n$ равных частей: $a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$ и рассмотрим интегральную сумму:

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} f(z(t_k)) ( z(t_k) - z(t_{k-1}) )$

Предел этой суммы при неограниченном возрастании $n$ называется (комплексным) интегралом по кривой $γ$ от данной функции $f (z)$ ; он обозначается:

$\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz$

Для любой функции $f (z)$ , непрерывной вдоль $γ$ , этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

$\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz=\int\limits_a^b\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int\limits_\gamma\! u\,dx - v\,dy + i\int\limits_\gamma\!v\,dx + u\,dy$

Здесь $u, v$ — компоненты $f (z)$ .

Если кривая $γ$ образует замкнутый контур (то есть конечная точка пути совпадает с начальной), употребляется особое обозначение интеграла:

$\oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz$

Имеет место важная интегральная теорема Коши: для любой функции $f (z)$ , аналитической в односвязной области $A\subset\mathbb C$ и для любой замкнутой кривой $\gamma\subset A$ справедливо соотношение $\oint\limits_\gamma\!f(z)\,dz=0$ . Другие мощные инструменты для вычисления комплексных и вещественных интегралов:

[править] Приложения в вещественном анализе

С помощью теории вычетов, являющейся частью ТФКП, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам.

Средствами комплексного анализа объясняются некоторые моменты, не поддающиеся простой интерпретации в терминах вещественного анализа. Приведем классический пример: функция

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой. Рассмотрим её ряд Тейлора

$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$

Этот ряд сходится только в интервале $( - 1;1)$ , хотя точки $\ \pm 1$ не являются какими-то особенными для $f (x)$ .

Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$ , у которой обнаруживаются две особые точки: $\pm i$ . Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге $\Delta=\left\{z\colon|z|<1\right\}$ .

[править] История

Фундаментальные работы в комплексном анализе связаны с именами Римана, Коши, Вейерштрасса и многих других известных математиков. Теория конформных отображений стала бурно развиваться благодаря имеющимся примененениям в инженерном деле, также методы и результаты комплексного анализа применяются в аналитической теории чисел. Новый всплеск интереса к комплексному анализу связан с комплексной динамикой и теорией фракталов.

[править] См. также

[править] Примечания

↑ Школьная энциклопедия «Математика» (издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996 год) указывает ударение компле́ксный. Большая советская энциклопедия, «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ
↑ О применении конформных отображений в гидродинамике см.: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

[править] Литература

История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд.. — М.: Наука, 1972.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II, глава XII, §5. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.

Разделы математики

[0] Школьная энциклопедия «Математика» (издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996 год) указывает ударение компле́ксный. Большая советская энциклопедия, «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ

[1] О применении конформных отображений в гидродинамике см.: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973.

[1]

[2]

Комплексный анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Общие понятия

[править] Дифференцирование

[править] Определение

[править] Геометрический смысл

[править] Интегрирование

[править] Приложения в вещественном анализе

[править] История

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках