Композиция функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) в математике — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций F и G обычно обозначается .

Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Свойства композиции 4 Дополнительные свойства

[править] Определение

Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:

.

[править] Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся набор функций от одной или нескольких исходных переменных. Например функция G вида

  G(x,y) = F(u(x,y),v(x,y))

[править] Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  .

• Если F = id_X — тождественное отображение на X, то есть

  ,

то

.

• Если G = id_Y — тождественное отображение на Y, то есть

  ,

то

.

• Рассмотрим пространство всех биекций множества X на себя и обозначим его . То есть если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а — группой. id_X является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является — обратная функция.
  • Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .

[править] Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть — топологические пространства. Пусть и две функции, . Тогда .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть . Тогда , и

.