Композиция функций

В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций $F$ и $G$ обычно обозначается $G\circ F$.

Определение

Пусть $F:X \to Y$ и $G: F(X) \subset Y \to Z$ две функции. Тогда их композицией называется функция $G \circ F: X \to Z$, определённая равенством:

$(G \circ F)(x) = G(F(x)),\; x\in X$.

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся набор функций от одной или нескольких исходных переменных. Например функция $G$ вида

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y))$

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  $(H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F )$.

• Если $F = \mathrm{id}_X$ — тождественное отображение на $X$, то есть

  $F(x) = \mathrm{id}_X(x) = x,\; \forall x \in X$,

то

$G \circ \mathrm{id}_X = G$.

• Если $G = \mathrm{id}_Y$ — тождественное отображение на $Y$, то есть

  $G(y) = \mathrm{id}_Y(y) = y,\; \forall y \in Y$,

то

$\mathrm{id}_Y \circ F = F$.

• Рассмотрим пространство всех биекций множества $X$ на себя и обозначим его $\mathcal{F}_X$. То есть если $F\in \mathcal{F}_X$, то $F:X \to X$ — биекция. Тогда композиция функций из $\mathcal{F}_X$ является бинарной операцией, а $(\mathcal{F}_X, \circ)$ — группой. $\mathrm{id}_X$ является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу $F \in \mathcal{F}_X$ является $F^{-1}\in \mathcal{F}_X$ — обратная функция.
  • Группа $(\mathcal{F}_X, \circ)$, вообще говоря, не коммутативна, то есть $F_1 \circ F_2 \not= F_2 \circ F_1$.

Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y), (Z,\mathcal{T}_Z)$ — топологические пространства. Пусть $f:X \to Y$ и $g:f(X) \subset Y \to Z$ две функции, $y_0 = f(x_0),\;f \in C(x_0),\; g\in C(y_0)$. Тогда $g \circ f \in C(x_0)$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть $f,g: \in \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; y_0 = f(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0),\; g\in \mathcal{D}(y_0)$. Тогда $g \circ f \in \mathcal{D}(x_0)$, и

$(g \circ f)'(x_0) = g'(y_0) \cdot f'(x_0)$.