Композиция числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел композицией, или разложением, натурального числа называется его представление в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых. Слагаемые, входящие в композицию, называют частями, а их количество — длиной композиции.

В отличие от композиции, разбиение числа не учитывает порядок следования частей. Поэтому число разбиений числа никогда не превосходит числа композиций.

При фиксированной длине композиций в них иногда также допускают нулевые части.

Примеры[править | править исходный текст]

Существует 16 композиций числа 5:

  • 5=5;
  • 5=4+1;
  • 5=3+2;
  • 5=3+1+1;
  • 5=2+3;
  • 5=2+2+1;
  • 5=2+1+2;
  • 5=2+1+1+1;
  • 5=1+4;
  • 5=1+3+1;
  • 5=1+2+2;
  • 5=1+2+1+1;
  • 5=1+1+3;
  • 5=1+1+2+1;
  • 5=1+1+1+2;
  • 5=1+1+1+1+1.

Количество композиций[править | править исходный текст]

В общем случае существует 2^{(n-1)} композиций числа n, из которых в точности \tbinom{n-1}{k-1} имеют длину k.

Если в композициях числа n длины k разрешить нулевые части, то количество таких композиций будет равно \tbinom{n+k-1}{k-1}, поскольку прибавление 1 к каждой части даёт композицию числа n + k уже без нулевых частей. Вопрос об общем количестве композиций числа n с возможными нулевыми частями лишён смысла, так как оно бесконечно.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.: Наука, 1977. — С. 241. — 319 с.