Комптоновская длина волны

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ко́мптоновская длина́ волны́ (λC) — параметр элементарной частицы: величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы. Комптоновская длина волны эквивалентна длине волны фотона, чья энергия такая же, как энергия покоя самой частицы. Название параметра связано с именем А. Комптона.

Вычисление[править | править вики-текст]

Формула комптоновской длины волны получается из формулы де-бройлевской длины волны путём замены скорости частицы v на скорость света c:

\lambda _{C} = \frac {2 \pi \hbar}{m c} = \frac {h}{m c}.

Для электрона, λeC ≈ 0,0242 Å ≈ 2,4263086·10−12 м; для протона, λpC ≈ 0,0000132 Å ≈ 1,3214098446·10−15 м.[1]

Можно также сказать, что комптоновская длина волны частицы равна длине волны фотона с энергией, равной энергии покоя данной частицы.

Приведённая комптоновская длина волны[править | править вики-текст]

В современной физике чаще употребляется приведённая комптоновская длина волны, которая меньше в 2π раз. Приведённая комптоновская длина волны обратна комптоновскому волновому числу:

\overline{\lambda}_{C} = \frac {\lambda_{C}}{2 \pi} = \frac {\hbar}{m c}.

Для электрона, λeC ≈ 0,00386 Å ≈ 3,8615901·10−13 м; для протона, λpC ≈ 0,0000021 Å ≈ 2,1030890861·10−16 м.[2]

В физике ядра и элементарных частиц также имеют важное значение (приведённые) комптоновские длины волн:

Приведённая комптоновская длина волны часто возникает в уравнениях квантовой механики и квантовой теории поля. Так, в релятивистском уравнении Клейна — Гордона для свободной частицы

 \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \left(\frac{m c}{\hbar} \right)^2 \psi

эта величина (в квадрате) выступает как множитель в правой части. В таком же качестве она появляется и в уравнении Дирака:

i \gamma^\mu \partial_\mu \psi = \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi .

Хотя в традиционное представление уравнения Шрёдингера комптоновская длина волны в явном виде не входит, его можно преобразовать так, чтобы она «проявилась». Так, нестационарное уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме с зарядовым числом ядра Z

 i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2\psi -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \psi

можно разделить на \hbar c и переписать так, чтобы заменить элементарный заряд e на постоянную тонкой структуры α:

\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2} \left(\frac{\hbar}{m_e c} \right) \nabla^2\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi.

В результате комптоновская длина волны электрона возникает как множитель в первом члене правой части.

В квантовой теории поля часто применяется упрощающая формулы естественная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны 1. В такой системе единиц комптоновская длина частицы просто обратна её массе: λC = 1/m.

Происхождение названия[править | править вики-текст]

Название «комптоновская длина волны» связано с тем, что величина λeC определяет изменение длины волны электромагнитного излучения в эффекте Комптона.

В квантовой теории поля[править | править вики-текст]

Частица, локализованная в области с линейными размерами не более λC, согласно соотношению неопределённостей имеет квантовомеханическую неопределённость в импульсе не менее mc и неопределённость в энергии не менее mc², что достаточно для рождения пар частиц-античастиц с массой m. В такой области элементарная частица, вообще говоря, уже не может рассматриваться как «точечный объект», потому что часть времени она проводит в состоянии «частица + пары». В результате на расстояниях, меньших λC, частица выступает как система с бесконечным числом степеней свободы и её взаимодействия должны описываться в рамках квантовой теории поля — в этом фундамаментальная роль параметра λC, определяющего минимальную погрешность, с которой может быть измерена координата частицы в её системе покоя. В частности, переход в промежуточное состояние «частица + пары», осуществляющийся за время ~λ/с, характерное для рассеяния света с длиной волны λ, при λ ≤ λC приводит к нарушению законов классической электродинамики в комптон-эффекте.

В действительности во всех случаях размер области, где частица перестаёт быть «точечным объектом», зависит не только от её комптоновской длины, но и от комптоновских длин других частиц, в которые данная частица может динамически превращаться. Но, например, для лептонов, не обладающих сильным взаимодействием, переход в другие состояния маловероятен (можно сказать, что он происходит редко или требует большого времени). Поэтому лептонная «шуба» из пар является как бы прозрачной, и во многих задачах лептоны с хорошей точностью могут рассматриваться как «точечные частицы». Для тяжёлого адрона, например нуклона N, эффективный размер области, где начинает проявляться «шуба», значительно больше комптоновской длины нуклона и определяется комптоновской длиной самого лёгкого из адроновпиона π (заметим, что λπC ≈ 7λNC). В области с линейным размером порядка λπC нуклоны с большой интенсивностью (из-за сильного взаимодействия) переходят в промежуточные состояния «нуклон + пионы», поэтому нуклонная «шуба», в отличие от лептонной, плотная.

Таким образом, эффективная область, где частица перестаёт проявляться как «точечная», определяется не только соответствующими комптоновскими длинами волн, но и константами взаимодействия данной частицы с другими частицами (полями).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Proton Compton wavelength 2006 CODATA recommended values
  2. Proton Compton wavelength over 2 pi 2006 CODATA recommended values

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]