Конгруэнция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конгруэнция — отношение эквивалентности на алгебраической системе, сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую факторсистему — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции.

Определение[править | править вики-текст]

Отношение \theta(x_1, \ldots, x_m) на множестве A называется стабильным относительно n-арной операции f, определённой на этом множестве, если для любых элементов a_{i1}, \ldots, a_{im} (i = 1, \ldots, n) множества A из истинности отношений \theta(a_{i1}, \ldots, a_{in}) (i = 1, \ldots, m) вытекает истинность отношения \theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm})).

Отношение \theta называется конгруэнцией на алгебраической системе \mathfrak A, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы \mathfrak{A}. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы \mathfrak{A}.)

Факторсистема[править | править вики-текст]

Для алгебраической системы \mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho) на фактормножестве A / \theta по конгруэнции \theta \subseteq A^2 для всех операций f_i \in \mathit\Phi и отношений r_i \in \mathit\Rho естественным образом вводятся операции и отношениями над соответствующими классами смежности:

f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta,
r_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \dots, b_m).

Получающаяся система обозначается \mathfrak{A} / \theta и называется факторсистемой, а отображение h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta, определяемое правилом h_\theta(a) = [a]_\theta — каноническим эпиморфизмом.

На множестве всех конгруэнций данной системы \mathrm{Con}(\mathfrak{A})определено отношение включения:

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b.

Относительно этого включения множество \mathrm{Con}(\mathfrak{A}) образует полную решётку.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы \{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A}) имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}.

Литература[править | править вики-текст]