Конгруэнция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математическая логика[править | править исходный текст]

Отношение P(x_1, \ldots, x_n) на множестве A называется стабильным относительно m-арной операции F, определённой на этом множестве, если для любых элементов a_{i1}, \ldots, a_{in}, i = 1, \ldots, m, множества A из истинности отношений

P(a_{i1}, \ldots, a_{in}), i = 1, \ldots, m,

вытекает истинность отношения

P(F(a_{11}, \ldots, a_{m1}), \ldots, F(a_{1n}, \ldots, a_{mn})).

Отношение P называется стабильным на алгебраической системе \mathcal{A}, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы \mathcal{A}. Конгруэнцией называется стабильное отношение эквивалентности \theta на алгебраической системе. Заметим, что при таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы \mathcal{A}.

Рассмотрим алгебраическую систему \mathcal{A} язык L которой не содержит предикатов. Через A / \theta обозначим фактор-множество множества A по отношению эквивалентности \theta, через a / \theta — смежный класс элемента a. На множестве A / \theta естественным образом интерпретируются функциональные и константные символы языка L (соответствующую алгебраическую систему обозначим \mathcal{A} / \theta):

c^{\mathcal{A} /\theta} = c^{\mathcal{A}} / \theta,

f^{\mathcal{A} /\theta}(a_1 / \theta, \ldots, a_{n_f} / \theta) = f^{\mathcal{A}}(a_1, \ldots, a_{n_f}) / \theta.

Отображение h \colon \mathcal{A} \to \mathcal{A} / \theta, определяемое правилом h(a) = a / \theta, называется каноническим эпиморфизмом.

Обозначим символом \mathrm{Con}(\mathcal{A}) множество всех конгруэнций на алгебраической системе \mathcal{A}. На этом множестве определено отношение включения:

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b.

Относительно этого включения множество \mathrm{Con}(\mathcal{A}) образует полную решётку.

Имеет место следующая теорема.

Теорема Ремака. Пусть \mathcal{A} — алгебраическая система (без предикатов), \{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathcal{A}), тогда \mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} вкладывается в прямое произведение \prod_{i \in I}{\mathcal{A} / \theta_i}.

Линейная алгебра[править | править исходный текст]

В линейной алгебре две вещественные (комплексные) матрицы A и B называются конгруэнтными, если существует невырожденная матрица Q такая, что A=Q^TBQ~(A=Q^HBQ).

Литература[править | править исходный текст]

  • А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970.
  • А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1975.

См. также[править | править исходный текст]