Конечная p-группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа называется конечной p-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-групп[править | править вики-текст]

Пусть P — конечная p-группа, тогда

Некоторые классы конечных p-групп[править | править вики-текст]

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных p-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса[править | править вики-текст]

Конечная p-группа порядка p^n называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна n-1.

Если P — конечная p-группа максимального класса, то P'=\Phi(P) и |Z(P)|=p.

Единственными 2-группами порядка 2^n максимального класса являются: диэдральная группа D_{2^n}, обобщённая группа кватернионов Q_{2^n} и полудиэдральная группа SD_{2^n}.

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы[править | править вики-текст]

Конечная p-группа называется p-центральной, если \Omega_1(P)\leq Z(P). Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной p-группы.

Мощные p-группы[править | править вики-текст]

Конечная p-группа называется мощной, если [P,P]\leq P^p при p\neq 2 и [P,P]\leq P^4 при p=2. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию p-центральной p-группы.

Регулярные p-группы[править | править вики-текст]

Конечная p-группа P называется регулярной, если для любых x,y\in P выполнено (xy)^p=x^p y^p c^p, где c\in P'. Регулярными будут, например, все абелевы p-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

  • Любая подгруппа и факторгруппа регулярной p-группы регулярна.
  • Конечная p-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
  • Конечная p-группа порядка не большего p^p является регулярной.
  • Конечная p-группа класс нильпотентности которой меньше p является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при p>2.
  • Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков[править | править вики-текст]

Число различных p-групп порядка p^n[править | править вики-текст]

  • Число неизоморфных групп порядка p равно 1: группа C_{p}.
  • Число неизоморфных групп порядка p^2 равно 2: группы C_{p^2} и C_{p}\times C_{p}.
  • Число неизоморфных групп порядка p^3 равно 5, из них три абелевы группы: C_{p^3}, C_{p^2}\times C_{p}, C_{p}\times C_{p}\times C_{p} и две неабелевы: при p>2 — E_{p^3}^+ и E_{p^3}^-; при p = 2 — D_4, Q_8.
  • Число неизоморфных групп порядка p^4 равно 15 при p>2, число групп порядка 2^4 равно 14.
  • Число неизоморфных групп порядка p^5 равно 2p + 61  + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4) при p\geq 5. Число групп порядка 2^5 равно 51, число групп порядка 3^5 равно 67.
  • Число неизоморфных групп порядка p^6 равно 3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5) при p\geq 5. Число групп порядка 2^6 равно 267, число групп порядка 3^6 равно 504.
  • Число неизоморфных групп порядка p^7 равно 3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9) при p>5. Число групп порядка 2^7 равно 2328, число групп порядка 3^7 равно 9310, число групп порядка 5^7 равно 34297.

p-группы порядка p^n, асимптотика[править | править вики-текст]

При n\rightarrow\infty число неизоморфных групп порядка p^n асимптотически равно p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}.

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп[править | править вики-текст]

Группа автоморфизмов конечной p-группы[править | править вики-текст]

Для групп p-автоморфизмов конечной p-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

  • Пусть P является нециклической p-группой порядка |P|\geq p^3, тогда |P|\leq |Syl_p(Aut(P))|.

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса p-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более p^7, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена[править | править вики-текст]

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка q нильпотентна.

  • Пусть группа P обладает регулярным автоморфизмом простого порядка q. Тогда её класс нильпотентности равен cl(P)=\frac{q^2-1}{4}.

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: cl(P) < q^q (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда[править | править вики-текст]

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с m образующими и периодом n (то есть все её элементы x удовлетворяют соотношению x^n=1), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через B(m,n). Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа B(m,2) является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы B(m,3) равен 3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}. Однако, как показали Новиков и Адян, при m\geq 2 и при любом нечётном n\geq 4381 группа B(m,n) бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных m-порождённых групп периода n ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных p групп она означает, что существует лишь конечное число p групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы[править | править вики-текст]

Классификация нерегулярных p-групп порядка p^{p+1}.

Литература[править | править вики-текст]

  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
  • Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
  • Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
  • Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
  • Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
  • Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
  • Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
  • Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
  • Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки[править | править вики-текст]