Конечное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 15 марта 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 4 правки.

Перейти к: навигация, поиск

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается $\mathbb{F}_q$ или $GF(q)$ , где $q$ — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является $\mathbb{Z}_p$ — кольцо вычетов по модулю простого числа.

Содержание

1 Свойства конечных полей
2 Примеры конечных полей
3 Построение конечных полей
- 3.1 Пример построения поля GF(9)
  - 3.1.1 Таблица сложения в GF(9)
  - 3.1.2 Таблица умножения в GF(9)
4 Литература
5 См. также

[править] Свойства конечных полей

Характеристика конечного поля является простым числом.
Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: $|\mathbb{F}_q|=q=p^n$ .
Для каждого простого числа $p$ и натурального $n$ существует конечное поле из $q = p n$ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена $x^q-x\in\mathbb{F}_p[x]$ .
В каждом поле существует по крайней мере один примитивный элемент $α$ , то есть такой, что $\alpha^{q-1}=1, \alpha^i \neq 1, i< q-1$ . Любой ненулевой элемент $β$ является некоторой степенью примитивного элемента: $\beta = \alpha^i,\quad i \in \{0,1,...,q-2\}$ .
Мультипликативная группа $\mathbb{F}^*_q$ конечного поля $\mathbb{F}_q$ является циклической группой порядка $q - 1$ . Поэтому, в частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент $α$ , порядок которого равен $q - 1$ , то есть $α q - 1 = 1$ и $\alpha^i \neq 1$ для $0 < i < q - 1$ .
Поле $\mathbb{F}_{p^n}$ содержит в себе в качестве подполя $\mathbb{F}_{p^k}$ тогда и только тогда, когда $k$ является делителем $n$ .

[править] Примеры конечных полей

$\mathbb{Z}_p$ , где $p$ — простое: $\mathbb{Z}_2,\;\mathbb{Z}_3,\;\mathbb{Z}_5,\;\mathbb{Z}_7$ и так далее.
$\mathrm{GF}(p^n)=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ , где $\langle f(x)\rangle$ — главный идеал кольца $\mathbb{Z}_p[x]$ , порожденный неприводимым многочленом $f(x)\in\mathbb{Z}_p[x]$ степени $n$ .

[править] Построение конечных полей

Существует два варианта построения, в зависимости от количества элементов поля, которое необходимо построить:

Поле содержит $p$ элементов, где $p$ — простое.

Кольцо $\mathbb{Z}_n$ вычетов по модулю

n

в случае простого

n = p

не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы $\mathbb{Z}_p$ — числа $0,\;1,\;2,\;\ldots,\;p-1$ . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением по модулю

p

.

Поле содержит $q = p n$ элементов, где $p$ — простое, $n$ — натуральное.

Кольцо $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ является полем тогда и только тогда, когда многочлен

f (x)

неприводим над полем $\mathbb{F}_p$ . При этом $|\mathbb{K}|=p^m$ , где

m = deg(f)

. Таким образом, для построения поля из

q = p n

элементов достаточно отыскать многочлен степени

n

, неприводимый над полем $\mathbb{F}_p$ , и определить $\mathbb{K}$ как указано выше.

Элементами поля $\mathbb{K}$ являются все многочлены степени меньшей

n

с коэффициентами из $\mathbb{F}_p$ . Операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена

f (x)

, то есть результат соответствующей операции — это остаток от деления на

f (x)

с приведением коэффициентов по модулю

p

.

[править] Пример построения поля GF(9)

Пусть надо построить поле $GF(9) = GF(3 2)$ . Для этого необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый в $\mathbb{Z}_3$ . Такими многочленами являются

x 2 + 1

x 2 + x + 2

x 2 + 2 x + 2

2 x 2 + 2

2 x 2 + x + 1

2 x 2 + 2 x + 1

Возьмём, например, $x 2 + 1$ , тогда искомое поле есть $\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$ . Если вместо $x 2 + 1$ взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

[править] Таблица сложения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

+	0	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
0	0	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
1	1	2	0	$x + 1$	$x + 2$	$x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$
2	2	0	1	$x + 2$	$x$	$x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$
$x$	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	0	1	2
$x + 1$	$x + 1$	$x + 2$	$x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	1	2	0
$x + 2$	$x + 2$	$x$	$x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	2	0	1
$2 x$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	0	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$
$2 x + 1$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	$2 x$	1	2	0	$x + 1$	$x + 2$	$x$
$2 x + 2$	$2 x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	2	0	1	$x + 2$	$x$	$x + 1$

[править] Таблица умножения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

×	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	$x$	$x + 1$	$x + 2$	$2 x$	$2 x + 1$	$2 x + 2$
2	2	1	$2 x$	$2 x + 2$	$2 x + 1$	$x$	$x + 2$	$x + 1$
$x$	$x$	$2 x$	2	$x + 2$	$2 x + 2$	1	$x + 1$	$2 x + 1$
$x + 1$	$x + 1$	$2 x + 2$	$x + 2$	$2 x$	1	$2 x + 1$	2	$x$
$x + 2$	$x + 2$	$2 x + 1$	$2 x + 2$	1	$x$	$x + 1$	$2 x$	2
$2 x$	$2 x$	$x$	1	$2 x + 1$	$x + 1$	2	$2 x + 2$	$x + 2$
$2 x + 1$	$2 x + 1$	$x + 2$	$x + 1$	2	$2 x$	$2 x + 2$	$x$	1
$2 x + 2$	$2 x + 2$	$x + 1$	$2 x + 1$	$x$	2	$x + 2$	1	$2 x$

[править] Литература

Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

[править] См. также

Конечное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Свойства конечных полей

[править] Примеры конечных полей

[править] Построение конечных полей

[править] Пример построения поля GF(9)

[править] Таблица сложения в GF(9)

[править] Таблица умножения в GF(9)

[править] Литература

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках