Конечное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конечное поле или поле Галуаполе, состоящее из конечного числа элементов.

Наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т.е. факторкольцо \mathbb{Z}/(p), где p - простое число[1].

Конечное поле обычно обозначается \mathbb{F}_q или \mathrm{GF}(q) (сокращение от Galois field), где q — число элементов поля (мощность). С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его мощностью, которая всегда является степенью какого-либо простого числа, т.е. q=p^n, где p — простое число, называемое характеристикой поля, а nнатуральное число.

Понятие конечного поля используется, в частности, в теории чисел, алгебраической геометрии, теории Галуа, криптографии, в разработке криптографически стойких шифров таких как AES.

История изучения[править | править вики-текст]

Первые упоминания о чём-то, похожем на теорию конечных полей, можно найти ещё в XVII веке. Над этой темой работали такие учёные, как Пьер Ферма, Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж и Адриен Мари Лежандр, которых можно считать основателями теории простых конечных полей. Однако больший интерес представляет общая теория конечных полей, берущая своё начало с работ Гаусса и Галуа. В честь последнего конечные поля и получили своё второе название — поля Галуа. До некоторого времени эта теория находила применение лишь в алгебре и теории чисел, однако во второй половине XX века она нашла новые точки соприкосновения с теорией полей, теорией групп, алгебраической геометрией, комбинаторикой и теорией кодирования[2].

Вклад Галуа[править | править вики-текст]

Эварист Галуа

В 1830 году Эварист Галуа опубликовал работу[3], которая положила основу общей теории конечных полей. Исходной целью Галуа было изучение сравнения F(x)\equiv 0\pmod p, которое является обобщением квадратичных сравнений, изученных Гауссом (см. Квадратичный закон взаимности). Здесь F(x) — произвольный неприводимый многочлен степени \nu. В этой работе Галуа вводит воображаемый корень сравнения F(x)\equiv\pmod p и обозначает его i. После этого рассматривается общее выражение A = a_0 + {a_1}i + {a_2}i^2 + ... + a_{\nu-1}i^{\nu-1}, где a_0, a_1, ..., a_{\nu-1} — некие целые числа по модулю p. Если присваивать этим числам всевозможные значения, выражение A будет принимать p^{\nu} значений. Далее Галуа показывает, что эти значения образуют поле мощности p^{\nu}, и его мультипликативная группа является циклической[4]. Таким образом, эта работа является первым камнем в фундаменте общей теории конечных полей. В отличие от его предшественников, рассматривающих только поля F_p, Галуа рассматривает уже поля F_{p^n}, которые начали называть полями Галуа в честь него.

На самом деле, Гаусс начал работу в этом направлении примерно на 30 лет раньше, однако при его жизни эти исследования так и не были изданы. Вероятно, данное исследование было проигнорировано редактором его сочинений[5], поэтому на свет эта работа появилась только в посмертном издании в 1863.

Дальнейшее развитие[править | править вики-текст]

В 1893 году математик Элиаким Мур доказал теорему о классификации конечных полей[6], утверждающую, что любое конечное поле является полем Галуа.

К этому же году относится первая попытка дать аксиоматический подход к теории конечных полей, осуществленная Генрихом Вебером, который пытался объединить в своей работе[7] понятия, возникшие в различных разделах математики, в том числе и понятие конечного поля.

Далее в 1905 году Джозеф Веддербёрн доказывает малую теорему Веддербёрна о том, что любое конечное тело коммутативно, то есть является полем.

Современное аксиоматическое определение поля (с конечными полями в качестве частного случая) принадлежит Эрнсту Стейницу и изложено в его работе 1910 года[8].

Дальнейшее развитие теория получает уже в теоретических и прикладных приложениях, которые используют конечные поля в той или иной роли.

Поле Галуа[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Для простого числа p обозначим через \mathbb{F}_p множество \{0, 1, ..., p - 1\} целых чисел, и пусть отображение \varphi: \mathbb{Z}\mbox{/} \mbox{(} p \mbox{)} \rightarrow \mathbb{F}_p определяется условием \varphi([a]) = a для a = 0, 1, ..., p - 1. Тогда множество \mathbb{F}_p со структурой поля, индуцированной отображением \varphi, называется полем Галуа порядка p (часто обозначается как GF(p)). [9]

Пример[править | править вики-текст]

Поле \mathbb{Z}/(5), изоморфное полю Галуа \mathbb{F}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\} Таблицы операций \mathbb{F}_5 имеют вид:

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Характеризация конечных полей[править | править вики-текст]

Характеристикой каждого конечного поля является простое число.

Если \mbox{F} - конечное поле. Тогда оно состоит из  p^n элементов, где простое число p является характеристикой поля F, а натуральное число n является степенью поля F над его простым подполем. [10]

Связь с кольцами[править | править вики-текст]

Кольцо \mathbb{Z}_n обладает всеми свойствами поля, кроме быть может, обратимости ненулевых элементов. Из примера выше видно, что \mathbb{Z}_5 - поле из пяти элементов. С другой стороны, \mathbb{Z}_4 - не поле, т.к. элемент [2] в этом поле необратим.

Теорема: Кольцо \mathbb{Z}_n является полем тогда и только тогда, когда n - простое число. [11]

Пример: Решить квадратно уравнение

x^2 + x -1 = 0

в кольце(поле) \mathbb{Z}_{11}.

По обычной формуле находим  x = \frac{[-1] \pm \sqrt{[5]}}{[2]} .

Так как [5] = [16] = [4]^2, то можно считать, что \sqrt{[5]} = [4] . Следовательно

x_1 = \frac{[-1] + [4]}{[2]}  = \frac{[3]}{[2]} = \frac{[14]}{[2]} = [7]
x_2 = \frac{[-1] - [4]}{[2]}  = \frac{[-5]}{[2]} = \frac{[6]}{[2]} = [3]

Мультипликативная группа поля[править | править вики-текст]

Мультипликативную группу поля образует поле Галуа без нулевого элемента. Эта группа является циклической, т.е. в ней есть порождающий элемент, а все остальные получаются возведением в степень порождающего.[12]

Пример[править | править вики-текст]

Примером может служить поле GF(2) и его расширение четвертой степени. Будем строить расширение с помощью неприводимого многочлена x^4 + x + 1. Элементы расширения задаются наборами коэффициэнтов многочлена, которые получается в остатке при делении на x^4 + x + 1, записанными в порядке возрастания степеней. Порождающим является элемент \alpha = x, который записывается как (0, 1, 0, 0).[13]

Многочлен Степень \alpha 1, x, x^2, x^3
\alpha (0, 1, 0, 0)
\alpha^2 (0, 0, 1, 0)
\alpha^3 (0, 0, 0, 1)
1 + \alpha \alpha^4 (1, 1, 0, 0)
\alpha + \alpha^2 \alpha^5 (0, 1, 1, 0)
\alpha^2 + \alpha^3 \alpha^6 (0, 0, 1, 1)
\alpha^3 + \alpha + 1 = \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^7 (1, 1, 0, 1)
1 + \alpha^2 =\alpha + 1 + \alpha^2 + \alpha \alpha^8 (1, 0, 1, 0)
\alpha + \alpha^3 \alpha^9 (0, 1, 0, 1)
\alpha^2 + 1 + \alpha = \alpha^2 + \alpha^4 \alpha^{10} (1, 1, 1, 0)
\alpha + \alpha^2 + \alpha^3 \alpha^{11} (0, 1, 1, 1)
1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 = \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^{12} (1, 1, 1, 1)
1 +\alpha^2 + \alpha^3 = \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^{13} (1, 0, 1, 1)
1 + \alpha^3 = \alpha + \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^{14} (1, 0, 0, 1)
1 = \alpha + \alpha^4 \alpha^{15} (1, 0, 0, 0)


Изоморфизмы[править | править вики-текст]

Основная статья: Изоморфизм

Пусть есть отображение \phi: G \rightarrow G' группы \langle G, *\rangle в группу \langle G', \circ\rangle.

Отображение \phi называется изоморфизмом, если:

  • отображение \phi взаимно однозначно;
  • отображение \phi сохраняет операцию, т. е. образ произведения равняется произведению образов: \phi(a * b) = \phi(a) \circ \phi(b).[14]

Расширение конечного поля GF(p^m) может быть задано разными полиномами p(x) одинаковых степеней m. Ненулевыми элементами любого поля порядка p^m является полный набор возможных многочленов степени m - 1 и ниже, отличающийся для разных полиномов p(x) лишь порядком следования элементов p по степеням примитивного элемента.

Все поля GF(p^m) одного порядка p^m изоморфны, т.е. между произвольными полями GF_1(p^m) и GF_2(p^m) существует взаимнооднозначное отображение \phi друг на друга, сохраняющее операции сложения и умножения, т.е. для любых двух элементов \beta_1 и \beta_2 из GF_1(p^m) справедливы соотношения:

\phi(\beta_1 + \beta_2) = \phi(\beta_1) + \phi(\beta_2)
\phi(\beta_1\beta_2) = \phi(\beta_1)\phi(\beta_2)

Например, между полями, построенными на основе неприводимых полиномов p_1(x) = x^4 + x + 1 и p_2(x) = x^4 + x_3 + 1, существует взаимнооднозначное отображение: \alpha = f(\gamma) = \gamma^7 = x^4 + x^3 + 1. Простая подстановка показывает, что при таком отображении сохраняются операции сложения и умножения. Например для сложения:

f(\beta_4 + \beta_7) = f(\alpha^4 + \alpha^7) = f(\alpha^3) = \gamma^{21} = \gamma^6 = \alpha^3 = \beta_3
f(\beta_4) + f(\beta_7) = f(\alpha_4) + f(\alpha_7) = \gamma^{28} + \gamma^{49} = \gamma^{13} + \gamma^4 = \gamma^6 = \beta_3

Анологично для умножения:

f(\beta_4\beta_7) = f(\alpha^4\alpha^7) = f(\alpha^{11}) = \gamma^2 = \alpha^{11} = \beta_{11}
f(\beta_4)f(\beta_7) = f(\alpha^4)f(\alpha^7) = \gamma^{28}\gamma^{49} = \gamma^{13}\gamma^4 = \gamma^{17} = \gamma^2 = \beta_{11}[15]

Гомоморфизмы[править | править вики-текст]

Основная статья: Гомоморфизм

Отображение \phi: G \rightarrow G' группы \langle G, *\rangle в группу \langle G', \circ\rangle называется гоморфизмом, если \phi(a * b) = \phi(a) \circ \phi(b). Гомоморфизм не обязательно взаимно однозначен. Группа G' не обязательно является полным образом G, может так быть, что Im(G) = \phi(G) \subset G', т.е. образ будет собственным подмножеством G'.[16]

Свойства и факты[править | править вики-текст]

Существование и единственность конечных полей[править | править вики-текст]

Для каждого простого числа p и каждого натурального числа n существует конечное поле из p^n элементов. Любое конечное поле из q = p^n элементов изоморфно полю разложения многочлена x^q - x над полем \mathbb{F}_p.[17]

Другие свойства[править | править вики-текст]

  1. Если F - конечное поле из q элементов, то каждый элемент a \in F удовлетворяет равенству a^q = a[18]
  2. Характеристика конечного поля является простым числом, и число элементов конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: |\mathbb{F}_q|=q=p^n.
  3. Конечное поле не может быть упорядоченным, так как упорядоченное поле содержит бесконечно много элементов.
  4. Конечное поле не является алгебраически замкнутым. Полином f(T)=1+\prod_{\alpha \in F}\left(T-\alpha\right) не имеет корней в F, причём f(\alpha)=1, \forall \alpha \in F
  5. Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q=p^n элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x^q-x\in\mathbb{F}_p[x].
  6. Мультипликативная группа  \mathbb{F}^*_q конечного поля \mathbb{F}_q является циклической группой порядка q-1.
    • В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент \alpha, порядок которого равен q-1, то есть \alpha^{q-1}=1 и \alpha^i \neq 1 для 0<i<q-1.
    • Любой ненулевой элемент \beta является некоторой степенью примитивного элемента:
      \beta = \alpha^i,\quad i \in \{0,1,...,q-2\}.
  7. Поле \mathbb{F}_{p^n} содержит в себе в качестве подполя \mathbb{F}_{p^k} тогда и только тогда, когда k является делителем n.
  8. Число N неприводимых полиномов степени n определяется по формуле N(q,n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n} \mu(d)q^{\frac{n}{d}}, где \muфункция Мёбиуса.
  9. Мультипликативная группа любого конечного поля циклическая[19]

Примеры[править | править вики-текст]

F2[править | править вики-текст]

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1

F3[править | править вики-текст]

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

F4[править | править вики-текст]

+ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0
× 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A

Прочее[править | править вики-текст]

  • \mathbb{Z}_p, где p — простое: \mathbb{Z}_2,\;\mathbb{Z}_3,\;\mathbb{Z}_5,\;\mathbb{Z}_7 и так далее.
  • \mathrm{GF}(p^n)=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle, где \langle f(x)\rangleглавный идеал кольца \mathbb{Z}_p[x], порождённый неприводимым многочленом f(x)\in\mathbb{Z}_p[x] степени n.

Приложения[править | править вики-текст]

Диофантовы уравнения[править | править вики-текст]

Диофантово уравнение является уравнением с целыми коэффициентами, в котором переменные также принимают целочисленные значения. Большую волну обсуждения таких уравнений вызвал Ферма, сформулировав свои теоремы. Малая теорема Ферма утверждает, что если p — простое число, не являющегося делителем другого числа a, то a^{p-1}\equiv 1\pmod p. В теории конечных полей эта теорема является очевидным следствием теоремы Лагранжа, применённой к мультипликативной подгруппе, порождённой элементом a, так как вся мультипликативная группа поля \mathbb F_pсостоит из p-1 элементов.

Ферма замечает, что единственные простые числа, которые можно разложить в сумму двух квадратов — это те простые числа, которые дают остаток 1 при делении на 4. В частности, он отмечает, что

5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.

В своём письме к Марену Мерсенну, датированном 25 декабря 1640 года, Ферма предлагает решить уравнение a^2+b^2=p.

Юлиус Дедекинд исследовал[20] это уравнение в конечном поле \mathbb{F}_p, где оно принимает вид a^2+b^2=0. Если b=0, то решение тривиально. В противном случае можно разделить обе части на b^2 и, введя замену, получить уравнение вида x^2+1=0. Домножением на x^2-1=0 получается уравнение x^4-1=0. Считая x генератором мультипликативной подгруппы порядка 4, можно получить необходимые и достаточные условия на p, при которых уравнение имеет решение. Дальнейшее доказательство теоремы[какой?], проведённое Дедекиндом, не использует понятия конечных полей и его можно найти в соответствующей статье.

Теория корректирующих кодов[править | править вики-текст]

Годом создания теории корректирующих кодов считается 1948 год, в котором была опубликована статья Клода Шеннона[21], в которой он показывает, что наличие ошибок при передаче информации по какому-либо каналу зависит в том числе от соотношения скорости передачи и пропускной способности канала. Скорость передачи должна быть выше пропускной способности. Шеннон привел доказательства, но они были признаны несостоятельными. Конструктивный подход предложил Ричард Хэмминг[22], задав тем самым вектор развития многих более поздних статей данной тематики. В своей работе Хэмминг построил простой код, исправляющий ошибки определенным образом. Хэмминг рассматривал корректирующие коды только над полем F_2. Вскоре подобные коды были построены над произвольными конечными полями Голеем в 1949 году.[23]. Однако наибольший вклад в эту теорию принадлежит все же Хэммингу.

Криптография[править | править вики-текст]

Конечные поля получили широчайшее применение в криптографии. Основополагающей работой считается статья Диффи и Хелмана[24] по криптографии с открытым ключом, в которой был предложен протокол обмена ключами. В этой работе использовались конечные поля определенного вида. Теперь же существует великое множество криптографических протоколов и криптосистем, основанных на применении конечных полей. Это и схема Эль-Гамаля, и Advanced Encryption Standard, и схема Шнорра, и алгоритм Чаума (слепая подпись), криптосистема XTR (англ.)русск., и многое другое. Алгоритмы на основе эллиптических кривых, являющиеся одним из ключевых объектов изучения в современной криптографии, также используют конечные поля.

Также зачастую качество шифрования зависит от способности быстро генерировать большие простые числа. Соответственно, встает задача построения алгоритма разложения числа на простые множители (определение простоты того или иного числа). Майкл Рабин опубликовал исследование[25], в котором он предлагает тест простоты на основе свойств мультипликативной группы поля.

Прочее[править | править вики-текст]

Теория конечных полей теснейшим образом пересекается с модульной арифметикой. В частности, понятие о конечных полях (существовавшее на тот момент) помогло Гауссу сформулировать квадратичный закон взаимности[26].

Эмиль Артин использовал инструментарий теории конечных полей для решения знаменитой девятой проблемы Гильберта (он анализировал аналог дзета-функции Римана над конечными полями). Наиболее активное обобщение арифметической геометрии на конечные структуры происходило во второй половине XX века, когда Андре Вейль обобщил подход к изучению алгебраических кривых, а Пьер Делиньалгебраических многообразий. Гипотезы Вейля[en] об алгебраических многообразиях над конечными полями, окончательно доказанные в 1940 году, были одним из важных вопросов того времени.

Космический зонд «Вояджер»

В 1960 году Raj Chandra Bose и Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri опубликовали работу[27], в которой исследовали семейства многочленов над конечными полями. Alexis Hocquenghem обобщил их теорию и это привело к созданию кода БЧХ, частным случаем которого является широко известный код Рида — Соломона, имеющий очень обширное применение. Он используется при записи и чтении в контроллерах оперативной памяти, при архивировании данных, записи информации на жесткие диски (ECC), записи на CD/DVD диски. Примечательно то, что при повреждении значительного объема информации, или если испорчено несколько секторов дискового носителя, код Рида — Соломона позволяют восстановить большую часть потерянной информации. Код БЧХ используется также в системе связи некоторых зондов NASA (таких как Voyager)

Построение[править | править вики-текст]

Построение поля \mathrm{GF}(p^n), где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя \mathrm{GF}(p) (которое совпадает со всем полем при n=1).

  • Простое поле \mathrm{GF}(p) строится как кольцо \mathbb{Z}_p вычетов по модулю p, которое в виду простоты p не имеет делителей нуля и поэтому является полем.
    Элементы \mathbb{Z}_p — числа 0,\;1,\;2,\;\ldots,\;p-1. Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю p.
  • Поле \mathrm{GF}(p^n) при n>1 строится как факторкольцо \mathbb{K}=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle, где f(x)неприводимый многочлен степени n над полем \mathbb{Z}_p. Таким образом, для построения поля из p^n элементов достаточно отыскать многочлен степени n, неприводимый над полем \mathbb{Z}_p.
    Элементами поля \mathbb{K} являются все многочлены степени меньшей n с коэффициентами из \mathbb{Z}_p. Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена f(x), то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на f(x) с приведением коэффициентов по модулю p.

Пример построения поля GF(9)[править | править вики-текст]

Для построения поля \mathrm{GF}(9) = \mathrm{GF}(3^2) необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый над \mathbb{Z}_3. Такими многочленами являются:

x^2+1
x^2+x+2
x^2+2x+2
2x^2+2
2x^2+x+1
2x^2+2x+1

Возьмём, например, x^2+1, тогда искомое поле есть \mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle. Если вместо x^2+1 взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

Таблица сложения в GF(9)[править | править вики-текст]

\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle

+ 0 1 2 x x+1 x+2 2x 2x+1 2x+2
0 0 1 2 x x+1 x+2 2x 2x+1 2x+2
1 1 2 0 x+1 x+2 x 2x+1 2x+2 2x
2 2 0 1 x+2 x x+1 2x+2 2x 2x+1
x x x+1 x+2 2x 2x+1 2x+2 0 1 2
x+1 x+1 x+2 x 2x+1 2x+2 2x 1 2 0
x+2 x+2 x x+1 2x+2 2x 2x+1 2 0 1
2x 2x 2x+1 2x+2 0 1 2 x x+1 x+2
2x+1 2x+1 2x+2 2x 1 2 0 x+1 x+2 x
2x+2 2x+2 2x 2x+1 2 0 1 x+2 x x+1

Таблица умножения в GF(9)[править | править вики-текст]

\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle

× 0 1 2 x x+1 x+2 2x 2x+1 2x+2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 x x+1 x+2 2x 2x+1 2x+2
2 0 2 1 2x 2x+2 2x+1 x x+2 x+1
x 0 x 2x 2 x+2 2x+2 1 x+1 2x+1
x+1 0 x+1 2x+2 x+2 2x 1 2x+1 2 x
x+2 0 x+2 2x+1 2x+2 1 x x+1 2x 2
2x 0 2x x 1 2x+1 x+1 2 2x+2 x+2
2x+1 0 2x+1 x+2 x+1 2 2x 2x+2 x 1
2x+2 0 2x+2 x+1 2x+1 x 2 x+2 1 2x

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Лидл, Нидеррайтер, 1988, с. 65
  2. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. — М.: Мир, 1988. — С. 5. — 808 с. — ISBN 5-03-000065-8.
  3. Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)
  4. Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — С. 70. — 168 с. — ISBN 978-0-8176-4684-4.
  5. G. Frei. The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. — Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. — С. 159-198.
  6. Moore E. H. A double–infinite systems of simple groups. — Mathematical Papers Read at the International Mathematical Congress in Chicago, 1893. — С. 208–242.
  7. H. Weber, " Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie ", Mathematische Annalen, vol. 43,‎ 1893, p. 521—549
  8. Ernst Steinitz, " Algebraische Theorie der Körper ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137,‎ 1910, p. 167—309 (ISSN 0075-4102)
  9. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. — М.: Мир, 1988. — С. 28. — 808 с. — ISBN 5-03-000065-8.
  10. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. — М.: Мир, 1988. — С. 66. — 808 с. — ISBN 5-03-000065-8.
  11. Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — С. 29. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  12. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 151. — 224 с.
  13. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 152. — 224 с.
  14. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 34. — 224 с.
  15. К.К.Васильев, В.А.Глушков, А.В.Дормидонтов, А.Г.Нестеренко Теория электрической связи. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — С. 207. — 452 с.
  16. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 38. — 224 с.
  17. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. — М.: Мир, 1988. — С. 66. — 808 с. — ISBN 5-03-000065-8.
  18. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. — М.: Мир, 1988. — С. 66. — 808 с. — ISBN 5-03-000065-8.
  19. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 151. — 224 с.
  20. R. Dedekind, Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894
  21. Шеннон, К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 243—332.
  22. Хэмминг, К. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — С. 7-23.
  23. Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proceedings IRE. 1949. V. 37, P.657.
  24. W. Diffie and M.E. Hellman. New directions in cryptography. IEEE Trans. Info. Theory, IT-22(6):644-654, 1976.
  25. M. Rabin, Probabilistic Algorithm for Testing Primality, J. Number Th. 12 (1980), 128—138
  26. C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, 1801
  27. R. C. Bose et D. K. Ray-Chaudhuri, On a class of error-correcting binary group codes, Inform. Control, vol. 3, mars 1960, p. 68-79

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.
  • Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — 224 с. — 1000 экз. — ISBN 5-94073-101-5.
  • К.К.Васильев, В.А.Глушков, А.В.Дормидонтов, А.Г.Нестеренко Теория электрической связи. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — 452 с. — ISBN 978-5-9795-0203-8.