Конечномерное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств[править | править исходный текст]

Всякий элемент x конечномерного пространства X представим единственным образом в виде

x=a_1 e_1+a_2 e_2+...+a_n e_n,

a_1, a_2,...,a_n\in \mathbb P где \mathbb P — поле(часто \mathbb R или \mathbb C), над которым рассматривается пространство X, e_1, e_2,...,e_n\in X — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

  • Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
  • Пусть X — конечномерное пространство и \{x_1, x_2,...,x_k\} — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
  • Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
  • В любом конечномерном пространстве над полем \mathbb R можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве X с фиксированным базисом, размерности n, можно ввести скалярное произведение по правилу:
    \forall x_1,x_2\in X, (x_1, x_2)=\sum_{k=1}^n a_k\cdot b_k, где \{a_k\},\{b_k\} — компоненты векторов x_1 и x_2 соответственно.
    Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем \mathbb R можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
    • Xрефлексивное пространство[1].
    • Пространство X^*, сопряжённое к некоторому конечномерному пространству X, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью X.
    • Для любого подпространства M\subset X конечномерного пространства X существует подпространство M^\perp\subset X[2] такое, что \forall x\in M, \forall y\in M^\perp, x\perp y и X разлагается в прямую сумму M и M^\perp, X=M\oplus M^\perp.
  • В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
  • Все нормы в конечномерном пространстве над полем \mathbb R эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
  • Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
  • Пространство X над полем \mathbb R является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор I: X\rightarrow X является вполне непрерывным.
  • Пространство X является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над X обратимый вполне непрерывный оператор.
  • Пространство X является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в  X предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство X является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в  X множество предкомпактно.
  • Всякий линейный оператор A:X\rightarrow Y, определенный в конечномерном пространстве X является непрерывным и даже вполне непрерывным.
  • В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры[править | править исходный текст]

\left \{  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \}

Более общий случай — пространства \mathbb R^n размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов (1\leq p <\infty):

\|x\|_p = \sqrt[p] {\sum_{i=1}^n{|x_i|^p}} или \|x\|_\infty = \max_{i=1,2,\dots,n}{|x_i|}.

Если ввести норму \|x\|_2 и скалярное произведение (x,y) = \sqrt {\sum_{i=1}^n{x_i y_i}}, то пространство будет евклидовым.

  • P^n -пространство всех многочленов степени не выше n. Размерность этого пространства n+1. Многочлены 1, x, x^2,..., x^n образуют в нём базис.
  • Пусть X - произвольное линейное пространство и пусть \{x_1,x_2,...,x_n\} некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
  2. M^\perp часто называют ортогональным дополнением к M

Литература[править | править исходный текст]