Конечнопорождённая абелева группа

В общей алгебре абелева группа $(\mathbb{G},\;+)$ называется конечнопорождённой, если существует конечный набор $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{G}$, такой что $\forall x \in \mathbb{G}$ существует представление

$x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_s x_s,$

где $n_1,\;\ldots,\;n_s$ — целые числа. В таком случае говорится, что $\{ x_1,\;\ldots,\;x_s \}$ порождает группу $\mathbb{G}$ или что $x_1,\;\ldots,\;x_s$ порождают $\mathbb{G}$.

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.

Примеры

• Целые числа $(\mathbb{Z},\;+)$ являются конечнопорождённой абелевой группой.
• Числа по модулю $(\mathbb{Z}_n,\;+)$ являются конечнопорождённой абелевой группой.
• Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.

Нет других конечнопорождённых групп. Группа $(\mathbb{Q},\;+)$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}$, возьмём натуральное число $w$, взаимно простое со всеми их знаменателями; тогда $1/w$ не может быть порождено $x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}$.

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа $\mathbb{G}$ изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{m_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{m_t},$

где $n \geqslant 0$, и числа $m_1,\;\ldots,\;m_t$ являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения $n,\;m_1,\;\ldots,\;m_t$ однозначно определены (с точностью до порядка) группой $\mathbb{G}$, в частности, $\mathbb{G}$ конечна тогда и только тогда, когда $n = 0$.

На основании того факта что $\mathbb{G}_m$ будет изоморфно произведению $\mathbb{G}_j$ и $\mathbb{G}_k$ тогда и только тогда, когда $j$ и $k$ взаимно просты и $m = j k$, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу $\mathbb{G}$ в форме прямого произведения

$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},$

где $k_1$ делит $k_2$, который делит $k_3$ и так далее до $k_u$. И снова, числа $n$ и $k_1,\;\ldots,\;k_u$ однозначно заданы группой $\mathbb{G}$.

См. также

• Простая группа
• Конечная группа