Конечнопорождённая абелева группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре абелева группа (\mathbb{G},\;+) называется конечнопорождённой, если существует конечный набор x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{G}, такой что \forall x \in \mathbb{G} существует представление

x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_s x_s,

где n_1,\;\ldots,\;n_s — целые числа. В таком случае говорится, что \{ x_1,\;\ldots,\;x_s \} порождает группу \mathbb{G} или что x_1,\;\ldots,\;x_s порождают \mathbb{G}.

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Целые числа (\mathbb{Z},\;+) являются конечнопорождённой абелевой группой.
  • Числа по модулю (\mathbb{Z}_n,\;+) являются конечнопорождённой абелевой группой.
  • Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.

Нет других конечнопорождённых абелевых групп. Группа (\mathbb{Q},\;+) рациональных чисел не является конечнопорожденной: если x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}, возьмём натуральное число w, взаимно простое со всеми их знаменателями; тогда 1/w не может быть порождено x_1,\;\ldots,\;x_s \in \mathbb{Q}.

Классификация[править | править исходный текст]

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа  \mathbb{G} изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{m_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{m_t},

где n \geqslant 0, и числа m_1,\;\ldots,\;m_t являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения n,\;m_1,\;\ldots,\;m_t однозначно определены (с точностью до порядка) группой  \mathbb{G} , в частности,  \mathbb{G} конечна тогда и только тогда, когда  n = 0 .

На основании того факта что  \mathbb{G}_m будет изоморфно произведению  \mathbb{G}_j и  \mathbb{G}_k тогда и только тогда, когда j и k взаимно просты и m = j k, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу  \mathbb{G} в форме прямого произведения

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},

где k_1 делит k_2, который делит k_3 и так далее до k_u. И снова, числа n и k_1,\;\ldots,\;k_u однозначно заданы группой  \mathbb{G} .

См. также[править | править исходный текст]