Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Определение

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции $f(x)$:

$f(x_0) = y_0, \ldots, f(x_n)=y_n,$

где $x_k = x_0 + hk,\ h=\mathrm{const}.$

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями $f$ в узлах интерполяции, то есть

$\Delta y_k=y_{k+1}-y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k),\ k=\overline{0,n-1}.$

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

$\Delta^2y_k= \Delta y_{k+1} - \Delta y_k = f(x_{k+2}) - 2 f(x_{k+1}) + f(x_{k}),\ k=\overline{0,n-2}.$

Конечной разностью порядка $m$ (для $m \leq n$) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка $m-1$, то есть

$\Delta^my_k= \Delta^{m-1}y_{k+1} - \Delta^{m-1}y_k,\ k=\overline{0,n-m}.$

Если ввести оператор смещения $\operatorname{E}$ такой, что $\operatorname{E}y_k=y_{k+1}$, то оператор восходящей конечной разности $\Delta=\operatorname{E}-1$ и

$\Delta^k=(\operatorname{E}-1)^k$,

который можно раскладывать по Биному Ньютона. Данный способ представления $\Delta$ заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков. [Корн, Справочник по математике].

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначения

Часто также используется другое обозначение: $\Delta^m_h (f, x)$ — конечная разность порядка $m$ от функции $f$ c шагом $h$, взятая в точке $x$. Например, $\Delta^1_h (f, x) = f(x+h) - f(x)$.

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. также

• Метод конечных разностей;
• Интерполяционные формулы Ньютона;
• Разделенная разность;
• Биномиальные преобразования.