Конечные разности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции f(x):

f(x_0) = y_0, \ldots, f(x_n)=y_n,

где x_k = x_0 + hk,\ h=\mathrm{const}.

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями f в узлах интерполяции, то есть

\Delta y_k=y_{k+1}-y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k),\ k=\overline{0,n-1}.

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

\Delta^2y_k= \Delta y_{k+1} - \Delta y_k = f(x_{k+2}) - 2 f(x_{k+1}) + f(x_{k}),\ k=\overline{0,n-2}.

Конечной разностью порядка m (для m \leq n) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка m-1, то есть

\Delta^my_k= \Delta^{m-1}y_{k+1} - \Delta^{m-1}y_k,\ k=\overline{0,n-m}.


Если ввести оператор смещения \operatorname{E} такой, что \operatorname{E}y_k=y_{k+1}, то оператор восходящей конечной разности \Delta=\operatorname{E}-1 и

\Delta^k=(\operatorname{E}-1)^k,

который можно раскладывать по Биному Ньютона. Данный способ представления \Delta заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков. [Корн, Справочник по математике].

Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона.

С конечными разностями связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Другие обозначения[править | править вики-текст]

Часто также используется другое обозначение: \Delta^m_h (f, x) — конечная разность порядка m от функции f c шагом h, взятая в точке x. Например, \Delta^1_h (f, x) = f(x+h) - f(x).

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим пример для функции

у = 2·х3 - 2·х2 + 3·х - 1.

См. рисунок.

Конечные разности

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

См. также[править | править вики-текст]