Константа Миллса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Константа Миллса A — действительное число, одна из констант в теории чисел. С её помощью можно вычислить некоторые простые числа.

А именно, для любого n \in \N \; , \; n > 0 , число

P_n = [ A^{3^n} ]

является простым, где [ \;\; ] обозначает целую часть (округление вниз).

Неизвестно, является ли A рациональным числом[1].

Константа названа в честь Уильяма Миллса, доказавшего её существование её в 1947 году[2] [3]. Точное значение этой константы неизвестно, однако, если предположить, что гипотеза Римана верна, то значение можно найти: A = 1,3063778838630806904686144926….[4]

Гипотеза Римана подразумевает,[неоднозначно] что существуют простые числа между кубами двух последовательных натуральных чисел.

Простые числа Миллса[править | править вики-текст]

Простые числа Миллса — это простые числа, найденные по указанной выше формуле при условии верности гипотеза Римана:[5][неоднозначно]

  • n = 1 \;\;\; P_n = 2
  • n = 2 \;\;\; P_n = 11
  • n = 3 \;\;\; P_n = 1\,361
  • n = 4 \;\;\; P_n = 2\,521\,008\,887
  • n = 5 \;\;\; P_n = 16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183
  • n = 6 \;\;\; P_n = 4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\,539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499
  • \ldots.

Есть и другой факт относительно этих чисел: если P_i — i-ое число в этой последовательности, то P_i может быть найдено как наименьшее простое число, следующее за P_{i-1}^3\,. Он может быть использован для получения оценочных неравенств на константу Миллса.

Численные вычисления[править | править вики-текст]

В 2005 году было высчитано более семи тысяч знаков A в предположении верности гипотезы Римана.[6]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Finch, Steven R. (2003), "Mills' Constant", «Mathematical Constants», Cambridge University Press, сс. 130–133, ISBN 0-521-81805-2, <ftp://s208.math.msu.su/469000/dbcd69f8d83a96354dd49d21572c6432> .
  2. Mills, W. H. (1947), "«A prime-representing function»", Bulletin of the American Mathematical Society Т. 53 (6): 604, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2, <http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf> .
  3. http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf - доказательство существования константы Миллса
  4. последовательность A051021 в OEIS
  5. последовательность A051254 в OEIS
  6. Caldwell, Chris K. & Cheng, Yuanyou (2005), "«Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem»", Journal of Integer Sequences Т. 8 (5.4.1), <http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html> .

Ссылки[править | править вики-текст]