Константа Эрдёша — Борвейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Константа Эрдёша — Борвейна  — математическая константа, равная сумме обратных величин чисел Мерсенна. Названа по именам Пала Эрдёша и Питера Борвейна (англ. Peter Borwein), установившим её ключевые свойства.

По определению константа равна:

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}

что приблизительно составляет 1,60669 51524 15291 763…[1].

Эквивалентные формы[править | править исходный текст]

Можно показать, что следующие суммы дают ту же самую константу:


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}
,

E=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}
,

E=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2^n-1)}
,

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}
,

где \sigma_0(n) = d(n) — мультипликативная функция делителей, равная числу положительных делителей числа n. Для доказательства эквивалентности этих используется факт, что все они представляют ряд Ламберта[2].

Иррациональность[править | править исходный текст]

Эрдёш в 1948 году показал, что константа является иррациональным числом[3]. Позднее Борвейн представил альтернативное доказательство[4].

Несмотря на иррациональность, двоичное представление константы эффективно вычисляется: Кнут в издании 1998 года «Искусства программирования» заметил, что вычисление можно осуществить с использованием ряда Клаузена, который сходится очень быстро[5].

Приложения[править | править исходный текст]

Константа Эрдёша — Борвейна возникает при анализе поведения алгоритма пирамидальной сортировки.[6]

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. последовательность A065442 в OEIS
  2. Первая из этих формул была представлена Кнутом в 1998 году; Кнут ссылается при этом на работу 1828 года Томаса Клаузена
  3. Erdős, Pal (1948), "«On arithmetical properties of Lambert series»", J. Indian Math. Soc. (N.S.) Т. 12: 63–66, <http://www.renyi.hu/~p_erdos/1948-04.pdf> 
  4. Borwein, Peter B. (1992), "«On the irrationality of certain series»", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 112 (1): 141–146, DOI 10.1017/S030500410007081X 
  5. Крэндалл, Ричард (2012), "«The googol-th bit of the Erdős–Borwein constant»", Integers Т. 12: A23, DOI 10.1515/integers-2012-0007 
  6. Кнут, Дональд (1998), «The Art of Computer Programming, Vol. 3: Sorting and Searching» (2nd ed.), Reading, MA: Addison-Wesley, сс. 153–155 .

Литература[править | править исходный текст]