Контактное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Контактное число (англ. kissing numbers), число Ньютона[1][2], в химии соответствует координационному числу[2] — максимальное количество шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).

Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке[3] — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей.

История[править | править вики-текст]

В одномерном случае не более двух отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка:

Kissing-1d.svg

В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монет, касающихся центральной. Из рисунка видно, что разместить можно до 6 монет:

Kissing-2d.svg

Это значит, что N(2)\geqslant 6. С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит N(2)\leqslant 360/60=6. Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и N(2)= 6.

Пример расположения 12 шаров

В трехмерном случае речь идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому N(3)\geqslant 12. Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.

Это расположение не плотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что N(3) = 12, а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления, и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что N(3) \leqslant 14. Если позволить менять радиусы шаров на 2 %, то оказывается возможным прислонить до 14 шаров.

Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена[4] была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.

В четырёхмерном случае представить себе шары достаточно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно давно[источник не указан 37 дней], оно столь же регулярное, как и в двумерном случае и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов.

В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом[5]. Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым[6][7]. Это расположение дало оценку снизу N(4) \geqslant 24.

Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что N(4) \leqslant 26, потом удалось снизить верхнюю границу до 25. В 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что N(4) = 24[8].

В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена в 1970-е годы[9][10]. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).

Известные значения и оценки[править | править вики-текст]

В настоящее время точные значения контактных чисел известны только для n\leq 4, а также для n = 8 и n = 24. Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.

Размерность Нижняя граница Верхняя граница
1 2
2 6
3 12
4 24[8]
5 40 44[11]
6 72 78[11]
7 126 134[11]
8 240
9 306 364[11]
10 500 554
11 582 870
12 840 1 357
13 1 154[12] 2 069
14 1 606[12] 3 183
15 2 564 4 866
16 4 320 7 355
17 5 346 11 072
18 7 398 16 572[11]
19 10 688 24 812[11]
20 17 400 36 764[11]
21 27 720 54 584[11]
22 49 896 82 340
23 93 150 124 416
24 196 560

Применение[править | править вики-текст]

Задача имеет практическое применение в теории кодирования[источник не указан 37 дней].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Яглом, И. М. Проблема тринадцати шаров. — Киев: Вища школа, 1975. — 84 с.
  2. 1 2 Дж. Конвей, Н. Слоэн Упаковки шаров, решётки и группы. — М.: Мир, 1990. — Т. 1. — 415 с. — ISBN 5-03-002368-2.
  3. Контактные числа на решётках: последовательность A001116 в OEIS
  4. Schütte, K. and van der Waerden, B. L. (1953). «Das Problem der dreizehn Kugeln». Math. Ann. 125 (1): 325-334. DOI:10.1007/BF01343127.
  5. Gosset, Thorold (1900). «On the regular and semi-regular figures in space of n dimensions». Messenger of Mathematics 29: 43–48.
  6. Korkine A., Zolotareff G. (1872). «Sur les formes quadratiques positives quaternaires». Math. Ann. 5 (4): 581—583. DOI:10.1007/BF01442912. Рус. пер.: Золотарев Е. И. Полн. собр. соч. — Л.: Изд-во АН СССР, 1931. — С. 66—68.
  7. Н. Н. Андреев, В. А. Юдин Арфиметический минимум квадратичной формы и сферические коды // Математическое просвещение. — 1998. — № 2. — С. 133—140.
  8. 1 2 Мусин О. Р. Проблема двадцати пяти сфер // УМН. — 2003. — Т. 58. — № 4(352). — С. 153-154.
  9. Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // ДАН СССР. — 1979. — Т. 245. — С. 1299–1303.
  10. A. M. Odlyzko, N. J. A. Sloane (1979). «New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions». J. Combin. Theory Ser. A 26: 210–214. DOI:10.1016/0097-3165(79)90074-8.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann and Frank Vallentin [http://arxiv.org/abs/0902.1105 High-Accuracy Semidefinite Programming Bounds for Kissing Numbers] // Experimental Mathematics. — 2010. — Т. 19. — № 2. — С. 174—178.
  12. 1 2 В. А. Зиновьев, Т. Эриксон Новые нижние оценки на контактное число для небольших размерностей // Пробл. передачи информ.. — 1999. — Т. 35. — № 4. — С. 3–11.

Ссылки[править | править вики-текст]