Контактное число

Контактное число (англ. kissing numbers, число Ньютона, в химии соответствует координационному числу) — максимальное количество шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).

Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей.

История

В одномерном случае задача формулируется так: сколько отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка? Легко показать, что ответ — 2:

В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монеток, касающихся центральной. Легко доказать (просто приведя пример), что можно разместить 6 монет:

Это значит, что $N(2)\geqslant 6$. С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит $N(2)\leqslant 360/60=6$. Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и N(2) = 6.

Пример расположения 12 шаров

В трехмерном случае речь уже идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому $N(3)\geqslant 12$. Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.

Это расположение не плотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка же сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что N(3) = 12, а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления, и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что $N(3) \leqslant 14$. Если позволить менять радиусы шаров всего на 2 % то оказывается возможным прислонить 14 шаров! Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.

В четырёхмерном случае представить себе шар уже довольно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно довольно давно, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов. В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом. Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым. Это расположение дало оценку снизу $N(4) \geqslant 24$. Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что $N(4) \leqslant 26$, потом удалось снизить верхнюю границу до 25. И лишь в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что N(4) = 24.

В размерности 8 и 24 точные оценки была получена гораздо раньше. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).

Известные значения и оценки

На данный момент точные значения контактных чисел известны лишь для $n\leq 4$, а также для n = 8 и n = 24. Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.

Размерность	Нижняя граница	Верхняя граница
1	2
2	6
3	12
4	24
5	40	45
6	72	78
7	126	135
8	240
9	306	366
10	500	567
11	582	915
12	840	1 416
13	1 154	2 233
14	1 606	3 492
15	2 564	5 431
16	4 320	8 313
17	5 346	12 215
18	7 398	17 877
19	10 688	25 901
20	17 400	37 974
21	27 720	56 852
22	49 896	86 537
23	93 150	128 096
24	196 560

Применение

Задача имеет и вполне практическое применение в теории кодирования.

См. также

• Упаковка шаров
• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Контактное число шаров и сферические коды. Математические этюды.
• Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Математика. — Издательский дом «Первое сентября», 2007. — № 9 (623).
• Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Потенциал. — 2009. — № 6.
• Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. — 1997. — Т. 219. — С. 44-73.