Континуанта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Континуантой индекса n называется многочлен K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n), определяемый рекуррентным соотношением:

K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,
K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-2}).

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

K_n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=
\det \begin{pmatrix} 
x_1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & x_2  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 &x_n
\end{pmatrix}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Континуанта K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена x_1\cdot\ldots\cdot x_n вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
    • Пример:
      K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.
    • Следствие:
      Континуанты обладают зеркальной симметрией: K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).
  • K_n(1,\;\ldots,\;1) = F_{n+1}число Фибоначчи.
  • Справедливо тождество:
    \frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}
  • В поле рациональных дробей
    \frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\;x_n] =
x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}цепная дробь.
  • Справедливо матричное соотношение:
    \begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
    • Откуда для определителей получается тождество:
      K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.
    • А также:
      K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.

Ссылки[править | править вики-текст]