Континуанта

Континуантой индекса n называется многочлен $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$, определяемый рекуррентным соотношением:

$K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,$

$K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-2}).$

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

$K_n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)= \det \begin{pmatrix} x_1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & x_2 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 &x_n \end{pmatrix}.$

Свойства

• Континуанта $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$ есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена $x_1\cdot\ldots\cdot x_n$ вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
  • Пример:

    $K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.$

  • Следствие:

    Континуанты обладают зеркальной симметрией: $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).$

• $K_n(1,\;\ldots,\;1) = F_{n+1}$ — число Фибоначчи.
• Справедливо тождество:

  $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}$

• В поле рациональных дробей

  $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\;x_n] = x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}$ — цепная дробь.

• Справедливо матричное соотношение:

  $\begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

  • Откуда для определителей получается тождество:

    $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.$

  • А также:

    $K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.$

Ссылки

• Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — Учебное пособие для математических специальностей. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — ISBN 5-02-014727-3