Континуум (теория множеств)

В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: $\mathfrak{c}$. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.

Также термин континуум может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Свойства

• Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества $\aleph_0$. Любое континуальное множество имеет счётное подмножество.
• Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов $\aleph_1$. Любое континуальное множество имеет подмножество мощности $\aleph_1$. Предположение о том, что $\mathfrak{c} = \aleph_1$ называется континуум-гипотезой.
• Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
• При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум.

Примеры

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

• Все точки отрезка $[0; 1]$.
• Все точки плоскости $\R^2$ (или $\R^n$).
• Множество всех иррациональных чисел.
• Множество всех трансцендентных чисел.
• Множество всех подмножеств счётного множества.
• Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
• Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
• Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
• Множество всех непрерывных функций $\R \to \R$.
• Множество всех открытых подмножеств плоскости $\R^2$ (или $\R^n$).
• Множество всех закрытых подмножеств плоскости $\R^2$ (или $\R^n$).