Конъюнктивная нормальная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ.[1] Для этого можно использовать: закон двойного отрицания, закон де Моргана, дистрибутивность.

Примеры и контрпримеры[править | править вики-текст]

Формулы в КНФ:

\neg A \wedge (B \vee C)
(A \vee B) \wedge (\neg B \vee C \vee \neg D) \wedge (D \vee \neg E)
A \wedge B

Формулы не в КНФ:

\neg (B \vee C)
(A \wedge B) \vee C
A \wedge (B \vee (D \wedge E)).

Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:

\neg B \wedge \neg C
(A \vee C) \wedge (B \vee C)
A \wedge (B \vee D) \wedge (B \vee E).

Построение КНФ[править | править вики-текст]

Алгоритм построения КНФ[править | править вики-текст]

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

A \rightarrow B = \neg A \vee B
A \leftrightarrow B = (\neg A \vee B) \wedge (A \vee \neg B)

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B
\neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения КНФ[править | править вики-текст]

Приведем к КНФ формулу

 F = ( X \rightarrow Y ) \wedge (( \neg Y \rightarrow Z ) \rightarrow \neg X )

Преобразуем формулу F к формуле не содержащей → :

 F = ( \neg X \vee Y ) \wedge ( \neg ( \neg Y \rightarrow Z ) \vee \neg X ) = ( \neg X \vee Y ) \wedge ( \neg ( \neg \neg Y \vee Z ) \vee \neg X )

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

 F = ( \neg X \vee Y) \wedge ((\neg Y \wedge \neg Z) \vee \neg X)

По закону дистрибутивности получим КНФ:

F = (\neg X \vee Y) \wedge (\neg X \vee \neg Y) \wedge (\neg X \vee \neg Z)

k-конъюнктивная нормальная форма[править | править вики-текст]

k-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

(A \or B) \and (\neg B \or C) \and (B \or \neg C)

Переход от КНФ к СКНФ[править | править вики-текст]

Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z), то добавляем в нее выражение :Z \wedge \neg Z = 0 (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона:

(X \vee Y) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z) = (X \vee Y \vee (Z \wedge \neg Z)) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z) = (X \vee Y \vee Z) \wedge (X \vee Y \vee \neg Z) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z)

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Формальная грамматика, описывающая КНФ[править | править вики-текст]

Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к КНФ:

<КНФ> → <дизъюнкт>
<КНФ> → <КНФ> ∧ <дизъюнкт>
<дизъюнкт> → <литерал>;
<дизъюнкт> → (<дизъюнкт> ∨ <литерал>)
<литерал> → <терм>
<литерал> → ¬<терм>

где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.

Задача выполнимости формулы в КНФ[править | править вики-текст]

В теории вычислительной сложности важную роль играет задача выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме. Согласно теореме Кука, эта задача NP-полна, и она сводится к задаче о выполнимости формул в 3-КНФ, которая сводится и к которой в свою очередь сводятся другие NP-полные задачи.

Задача о выполнимости 2-КНФ формул может быть решена за линейное время.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика. — С. 303.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 176 с. - (Высшее образование)

Ссылки[править | править вики-текст]