Копроизведение

Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий для понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это наиболее общий объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, реально произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.

Определение

Пусть $\mathcal C$ — категория, $\{X_j | j \in J\}$ — индексированное семейство её объектов. Копроизведение этого семейства — это такой объект $X$, вместе с морфизмами $i_j\colon\, X_i \to X$, называемыми каноническими вложениями или каноническими инъекциями (хотя они не обязаны быть инъекциями), что для любого $Y \in Ob\,\mathcal C$ и семейства морфизмов $f_j\colon\, X_j \to Y$ существует единственный морфизм $f\colon\, X \to Y$, такой что $f_j = f \circ i_j$, то есть следующая диаграмма коммутативна для всех $j$:

Копроизведение семейства $\{ X_j \}$ обычно обозначают

$X = \coprod_{j\in J}X_j$

или

$X = \bigoplus_{j \in J} X_j.$

Иногда морфизм $f$ обозначают

$f=\coprod_{j \in J} f_j: \coprod_{j \in J} X_j \to Y$

чтобы подчеркнуть его зависимость от $f_j$.

Копроизведение двух объектов обычно обозначают $X_1 \coprod X_2$ или $X_1 \oplus X_2$, тогда диаграмма принимает вид

Соответственно, $f$ обозначают при этом $f_1 \coprod f_2$, $f_1 \oplus f_2$ или $[ f_1, f_2 ]$.

Единственность результата операции $[-,-]$ можно альтернативно выразить как равенство $[ h \circ i_1,h \circ i_2 ] = h$, верное для любых $h$.

Существует эквивалентное определение копроизведения. Копроизведение семейства $\{X_j|j\in J\}$ — это такой объект $X$, что для любого объекта $Y\in C$ функция $Hom(X,Y) \rightarrow \prod_{j\in J} Hom(X_j,Y)$, заданная как $u \mapsto \{ u \circ i_j\}$, биективна.

Свойства

• Если сумма объектов существует, то она единственна с точностью до изоморфизма.
• Коммутативность: $a + b \simeq b + a.$
• Ассоциативность: $(a+b)+c \simeq a+(b+c)$
• Если в категории существует начальный объект $\ 0$, то $a+0 \simeq 0+a \simeq a.$
• Категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется инициальный объект, является симметричным моноидом.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм $X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z)$, где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для $X\times(Y+Z)$ гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

$f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j$

порождает множество морфизмов

$f_{ij} \colon a_i \to b_j$

задаваемых по правилу $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования $f_{ij} \colon a_i \to b_j$ задаёт единственный соответствующий морфизм $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ Если в категории существует нулевой объект $0,$ для которого для любого объекта $x$ существует единственный морфизм $d_x\colon x \to 0$ и единственный морфизм $c_x\colon 0\to x$, то матрица преобразования $f_{ij} \colon a_i \to a_j$, задаваемая по правилу

$f_{ij} = \left\{ \begin{matrix} c_{j} \circ d_{i},~ i\ne j \\ id_i,~ i=j \end{matrix} \right.$

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств $\mathcal{V}ect_f$ копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное понимание матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных. При этом матрица преобразования всего пространства задаётся через указание образов соответствующих базисных векторов и продолжение преобразования на всё пространство по линейности единственным образом.

Литература

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].

См. также

• Произведение (теория категорий) — двойственное понятие.