Копроизведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Копроизведение (категорная сумма) семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во многих категориях произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть \mathcal C — категория, \{X_j | j \in J\} — индексированное семейство её объектов. Копроизведение этого семейства — это объект X, вместе с морфизмами i_j\colon\, X_i \to X, называемыми каноническими вложениями, такой что для любого объекта Y категории \mathcal C и семейства морфизмов f_j\colon\, X_j \to Y существует единственный морфизм f\colon\, X \to Y, такой что f_j = f \circ i_j, то есть следующая диаграмма коммутативна для каждого j:

Coproduct-01.png

Копроизведение семейства \{ X_j \} обычно обозначают

 X = \coprod_{j\in J}X_j

или

X = \bigoplus_{j \in J} X_j.

Иногда морфизм f обозначают

f=\coprod_{j \in J} f_j: \coprod_{j \in J} X_j \to Y

чтобы подчеркнуть его зависимость от f_j.

Копроизведение двух объектов обычно обозначают X_1 \coprod X_2 или X_1 \oplus X_2, тогда диаграмма принимает вид

Coproduct-03.png

Соответственно, f обозначают при этом f_1 \coprod f_2, f_1 \oplus f_2 или [ f_1, f_2 ].

Единственность результата операции [-,-] можно альтернативно выразить как равенство [ h \circ i_1,h \circ i_2 ] = h, верное для любых h.[1]

Существует эквивалентное определение копроизведения. Копроизведение семейства \{X_j|j\in J\} — это такой объект X, что для любого объекта Y\in C функция \text{Hom}(X,Y) \rightarrow \prod_{j\in J} \text{Hom}(X_j,Y), заданная как u \mapsto \{ u \circ i_j\}, биективна.[2]

Примеры[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

Дистрибутивность[править | править исходный текст]

В общем случае существует канонический морфизм X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z), где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Product-Coproduct Distributivity.png

Универсальное свойство X\times(Y+Z) гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
  2. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: «Мир», 1972.

Литература[править | править исходный текст]

  • Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].