Копула

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Копула (лат. Copula) — это многомерная функция распределения, определённая на n-мерном единичном кубе [0,\;1]^n, такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале [0,\;1].

Теорема Шкляра (Sklar) заключается в следующем. Для произвольной двумерной функции распределения H(x,\;y) с одномерными маргинальными функциями распределения F(x)=H(x,\;\infty) и G(y)=H(\infty,\;y) существует копула, такая что

H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),

где мы отождествляем распределение C с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,
C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.

Границы Фреше—Хёфдинга для копулы[править | править вики-текст]

Минимальная копула — это нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

M(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).

Максимальная копула — это верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

W(x,\;y)=\min(x,\;y).

Архимедовы копулы[править | править вики-текст]

Одна частная простая форма копулы:

 C(x,\;y)=\Psi^{-1}(\Psi(x)+\Psi(y)),

где \psi называется функция-генератор. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведенным ниже свойствам служит основой для правильной копулы:

\Psi(1)=0;\quad\lim_{x\to 0}\Psi(x)=\infty;\quad\Psi'(x)<0;\quad\Psi''(x)>0.

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

\Psi(x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.

Копула Клейтона (Clayton):

\Psi(x)=x^\theta-1;\quad\theta\leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^\theta+y^\theta-1)^{1/\theta}.

Для \theta=0 в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространен для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копула[править | править вики-текст]

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить "эмпирическую копулу" путем такой свертки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

C_n\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) = \frac{1}{n} \cdot Число пар (x,y) таких что x \leq x_{(i)} \text{ и } y \leq y_{(j)} \, , 1 \leq i \leq n , 1 \leq j \leq n

где x(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Применения[править | править вики-текст]

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs). [1]

Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

Недавно, копулы были успешно использованы для формирования базы данных для анализа надежности автострадных мостов и для разнообразных моделирований со многими переменными в гражданском, механическом и шельфо-добывающем машиностроении.[источник не указан 1516 дней]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Meneguzzo, David (2003), "«Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps»", Journal of Futures Markets Т. 24 (1): 37–70, DOI 10.1002/fut.10110 

Литература[править | править вики-текст]

  • Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription)
  • Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1—25.
  • Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
  • Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
  • Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.

Внешние ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула