Корень Бринга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция Br(a), такая что для вещественных a Br(a) есть (единственный, в силу монотонности) вещественный корень многочлена x^5+x+a. В силу теоремы единственности из ТФКП, для всех комплексных a

Br(a)^5+Br(a)+a=0

Разрез на комплексной плоскости проходит вдоль вещественной полуоси x\leqslant -1.

Жерар (англ.) показал, что все уравнения 5-й степени могут быть решены в радикалах и корнях Бринга, которые были введены Брингом (англ.).

Нормальная форма Бринга — Жерара[править | править вики-текст]

Если

x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0

тогда, если

y = x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4,

мы можем получить полином 5-й степени от y, сделав преобразование Чирнгауза, например, используя результант для исключения x. Мы можем затем подобрать конкретные значения коэффициентов b_i для того, чтобы получить полином от y в форме

y^5 + py + q

Эта неполная форма, открытая Брингом и переоткрытая Жераром, называется нормальной формой Бринга — Жерара. Метод «в лоб» при попытке приведения к нормальной форме Бринга — Жерара не срабатывает; нужно делать это шаг за шагом, применяя несколько преобразований Чирнхауса, которые современные системы аналитических вычислений делают довольно легко.

В начале, подставляя x-a_1/5 вместо x, избавляемся от члена с x^4. Затем, применяя идею Чирнхауса для исключения и члена x^3, введём переменную y = x^2+px+q и найдём такие p и q, чтобы в результате коэффициенты при x^3 и x^4 стали равны 0. Конкретнее, подстановки q = \frac{2c}{5} и

 p = {\sqrt{5c(3c^2-10d)} \over 5c}

исключают члены третьей и четвёртой степени одновременно из

x^5 + cx^3 + dx^2 + ex + f

Следующим шагом делаем подстановку

y = x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4

в форму

x^5 + dx^2+ex+f

и исключаем также член второй степени, в процессе чего не потребуется решения уравнений степени выше 3. При этом выражения для b_1, b_2 и b_4 содержат квадратные корни, а в выражении для b_3 присутствует корень третьей степени.

Общий вид сравнительно легко вычислить с помощью компьютерных систем типа Maple или Mathematica, но он слишком громоздкий, поэтому лучше опишем метод, который затем может быть применён в конкретном случае. В любом частном случае можно составить систему из трёх уравнений для коэффициентов b_i и решить её. Одно из решений, полученных таким образом, будет включать корни многочленов не выше третьей степени; рассмотрев затем результант с вычисленными коэффициентами, сведём уравнение к форме Бринга — Жерара. Корни первоначального уравнения выражаются через корни полученного уравнения.

Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения уравнения

x^5+ux+v = 0

зависят от двух параметров, u и v, однако заменой переменной можно видоизменить уравнение так, чтобы неизвестная была функцией уже только одного параметра. Так, если положить

z = {x \over (-u/5)^{1/4}}

придём к форме

x^5 - 5x - 4t = 0

которая содержит x как алгебраическую функцию одного комплексного, вообще говоря, параметра t.

Корни Бринга[править | править вики-текст]

Как функции комплексной переменной t, корни x уравнения

x^5 - 5x - 4t = 0\,

имеют точки ветвления, где дискриминант 800 000(t4 - 1) обращается в ноль, то есть в точках 1, −1, а также i и -i. Монодромия вокруг любой из точек ветвления обменивает две из них, оставляя одну на месте. Для вещественных значений t, больших или равных −1, наибольшый вещественный корень есть функция от t, монотонно возрастающая от 1; назовём эту функцию корень Бринга, BR(t). Выбирая ветвь, обрезанную вдоль вещественной оси от -\infty до −1, мы можем продолжить корень Бринга на всю комплексную плоскость, устанавливая значения вдоль ветви так, чтобы получалось аналитическое продолжение вдоль верхней полуплоскости.

Конкретно, положим a_0 = 3, a_1 = {1\over100}, a_2 = -{27\over400\,000}, a_3 = {549\over800\,000\,000}, и последовательность ai определим рекуррентно

a_{n+4} = -{\frac {185\,193}{5\,278\,000}}\,{\frac {2\,n+5}{n+4}}a_{n+3}
-{\frac {9\,747}{
52\,780\,000}}\,{\frac {10\,{n}^{2}+40\,n+39}{ \left( n+4 \right)  \left( 
n+3 \right) }}a_{n+2}
-{\frac {57}{52\,780\,000}}\,{\frac { \left( 2\,n+3
 \right)  \left( 10\,{n}^{2}+30\,n+17 \right) }{ \left( n+4 \right) 
 \left( n+3 \right)  \left( n+2 \right) }}a_{n+1}

-{\frac {1}{6\,597\,500\,000}}\,{\frac { \left( 5\,n+11 \right)  \left( 5\,n+7 \right)  \left( 5\,n+3
 \right)  \left( 5\,n-1 \right) }{ \left( n+4 \right)  \left( n+3
 \right)  \left( n+2 \right)  \left( n+1 \right) }}a_n.

Для комплексных значений t таких, что |t - 57| < 58, получим

\operatorname{BR}(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n (t-57)^n,\,

что можно аналитически продолжить, о чём было уже упомянуто.

Корни x5 — 5x — 4t = 0 можно теперь выразить в терминах корнях Бринга таким образом:

r_n = i^{-n} \operatorname{BR}(i^n t)

для n от 0 до 3, и

r_4 = -r_0-r_1-r_2-r_3

для пятого корня.

Решение общего уравнения пятой степени[править | править вики-текст]

Мы можем теперь выразить корни полинома

x^5 + px +q\,

в терминах радикалов Бринга как

\left(-\frac{p}{4}\right)^\frac{1}{4}\operatorname{BR}\left(\frac{(-5/p)^\frac{5}{4} q}{4}\right)

и его четыре комплексных сопряжения.

Итак, у нас есть сведение к форме Бринга-Жеррара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Это значит, что преобразования могут быть обращены нахождением корней многочлена, выраженных в радикалах. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга, что т.о. будет алгебраическим решением в терминах алгебраических функций одной переменной - алгебраическим решением общего уравнения пятой степени.

Другие свойства[править | править вики-текст]

Много других свойств корней Бринга было получено, первые были сформулированы в терминах модулярных эллиптических функций Шарлем Эрмитом в 1858.

Вывод Глассера[править | править вики-текст]

По М. Л. Глассеру (см. ссылку внизу) можно найти решение любого полиномиального уравнения из трёх слагаемых вида:

x^N - x + t

В частности, произвольное уравнение пятой степени может быть сведено к такой форме с помощью преобразований Чирнхауса, показанных выше. Возьмём x = \zeta^{-1/(N-1)}, где общая форма:


\zeta = e^{2\pi i}  + t\phi(\zeta),

а


\phi(\zeta) = \zeta^{N/(N-1)}

Формула Лагранжа показывает, что любая аналитическая функция f в окрестности корня преобразованного общего уравнения относительно ζ может быть выражена в виде бесконечного ряда:


f(\zeta) = f(e^{2\pi i}) + \sum^\infty_{n=1} \frac{t^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{da^{n-1}}[f'(a)|\phi(a)|^n]_{a = e^{2\pi i}}

Если мы положим f(\zeta) = \zeta^{-1/(N-1)} в этой формуле, то сможем получить корень:


x_1 = \exp(-2\pi i/(N -1)) - \frac{t}{N-1}\sum^\infty_{n=0}\frac{(te^{2\pi i/(N-1)})^n}{\Gamma(n + 2)}\frac{\Gamma(\frac{Nn}{N-1} + 1)}{\Gamma(\frac{n}{N-1} + 1)}

Следующие N-2 корня могут быть найдены заменой \exp(-2\pi i / (N -1)) на другие корни (N-1)-й степени из единицы, а последний корень - из теоремы Виета (например, используя тот факт, что сумма всех корней многочлена трёхчленной формы, приведённой выше, равна 1). С помощью теоремы произведения Гаусса (Gauss' Multiplication Theorem (англ.)) вышеуказанный бесконечный ряд может быть разбит в конечную сумму гипергеометрических функций:


\psi(q) = (\frac{\omega t}{N-1})^q n^{qN/(N-1)}\frac{\prod^{N-1}_{k=0}\Gamma(\frac{Nq/(N-1) + 1 + k}{N})}{\Gamma(\frac{q}{N-1} + 1)\prod^{N-2}_{k=0}\Gamma(\frac{q+k+2}{N-1})}

x_1 =  \omega^{-1} - \frac{t}{(N-1)^2}\sqrt{\frac{N}{2\pi(N-1)}}\sum^{N-2}_{q=0}\psi(q)_{N+1}F_N
\begin{bmatrix}
\frac{qN/(N-1)+1}{N}, \ldots, \frac{qN/(N-1) + N}{N}, 1; \\
\frac{q+2}{N-1},  \ldots, \frac{q+N}{N-1}, \frac{q}{N-1}+1; \\
(\frac{t\omega}{N-1})^{N-1}N^N)
\end{bmatrix}

где \omega = \exp(2\pi i/(N-1)).


{}_{ax^N+bx^2 + c=0,N\equiv 1\pmod{2}} \,\!
{}_{
x_{N}=-\frac{a}{2b}\sqrt{\left(\frac{c}{b}\right)^{N-1}}{}_{N-1}F_{N-2}
\begin{bmatrix}
\frac{N+1}{2N},\frac{N+3}{2N},\cdots,\frac{N-2}{N},\frac{N-1}{N},\frac{N+1}{N},\frac{N+2}{N},\cdots,\frac{3N-3}{2N},\frac{3N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{N+1}{2N-4},\frac{N+3}{2N-4},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{3N-5}{2N-4},\frac{3}{2};\\[8pt]
-\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}}
\end{bmatrix}
+\sqrt{\frac{c}{b}}{\rm{i}}{}_{N-1}F_{N-2}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2N},\frac{3}{2N},\cdots,\frac{N-4}{2N},\frac{N-2}{2N},\frac{N+2}{2N},\frac{N+4}{2N},\cdots,\frac{2N-3}{2N},\frac{2N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{3}{2N-4},\frac{5}{2N-4},\cdots,\frac{2N-3}{2N-4};\\[8pt]
-\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}}
\end{bmatrix}
}
{}_{
x_{N-1}=-\frac{a}{2b}\sqrt{\left(\frac{c}{b}\right)^{N-1}}{}_{N-1}F_{N-2}
\begin{bmatrix}
\frac{N+1}{2N},\frac{N+3}{2N},\cdots,\frac{N-2}{N},\frac{N-1}{N},\frac{N+1}{N},\frac{N+2}{N},\cdots,\frac{3N-3}{2N},\frac{3N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{N+1}{2N-4},\frac{N+3}{2N-4},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{3N-5}{2N-4},\frac{3}{2};\\[8pt]
-\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}}
\end{bmatrix}
-\sqrt{\frac{c}{b}}{\rm{i}}{}_{N-1}F_{N-2}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2N},\frac{3}{2N},\cdots,\frac{N-4}{2N},\frac{N-2}{2N},\frac{N+2}{2N},\frac{N+4}{2N},\cdots,\frac{2N-3}{2N},\frac{2N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{3}{2N-4},\frac{5}{2N-4},\cdots,\frac{2N-3}{2N-4};\\[8pt]
-\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}}
\end{bmatrix}
}
{}_{
x_n=-e^{\frac{2n\pi{\rm{i}}}{N-2}}\sqrt[N-2]{\frac{b}{a}}{}_{N-1}F_{N-2}
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{N\left(N-2\right)},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{2}{N},\cdots,-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},\frac{N-5}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-3}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+1}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+3}{2N},\cdots,-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-1}{N},;\\[8pt]

\frac{1}{N-2},\frac{2}{N-2},\cdots,\frac{2N-5}{2N-4},;\\[8pt]
-\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}}
\end{bmatrix}
+\sqrt[N-2]{\frac{b}{a}}\sum^{N-3}_{q=1}\frac{\Gamma\left(\frac{2q-1}{N-2}+q\right)}{\Gamma\left(\frac{2q-1}{N-2}+1\right)}\cdot\left(-\frac{c}{b}\sqrt[N-2]{\frac{a^2}{b^2}}\right)^q\cdot\frac{e^{\frac{2n\left(1-2q\right)}{N-2}\pi{\rm{i}}}}{q!}{}_{N-1}F_{N-2}
\begin{bmatrix}
\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{2}{N},\cdots,\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-3}{2N},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+1}{2N},\cdots,\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-1}{N};\\[8pt]

\frac{q+1}{N-2},\frac{q+2}{N-2},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{q+N-2}{N-2},\frac{2q+2N-5}{2N-4};\\[8pt]
-\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}}
\end{bmatrix},n=1,2,\cdots,N-2
}
Корни уравнения тогда можно представить как сумму самое большее N-1 гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной форме Бринга-Жеррара, определим следующие функции:

\begin{matrix}
F_1(t) & = & F_2(t)\\
F_2(t) & = & \,_4F_3(1/5,  & 2/5,   & 3/5,   & 4/5;   & 1/2, & 3/4, & 5/4; & 3125t^4/256)\\
F_3(t) & = & \,_4F_3(9/20, & 13/20, & 17/20, & 21/20; & 3/4, & 5/4, & 3/2; & 3125t^4/256)\\
F_4(t) & = & \,_4F_3(7/10, & 9/10 , & 11/10, & 13/10; & 5/4, & 3/2, & 7/4; & 3125t^4/256)
\end{matrix}

которые суть гипергеометрические функции, присутствующие в рядах выше. Корни уравнения пятой степени тогда:


\begin{matrix}
x_1 & = & -t^4F_1(t) \\
x_2 & = & -F_1(t)   & + \frac{1}{4}tF_2(t)  & + \frac{5}{32}t^2F_3(t)  & + \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\
x_3 & = & -F_1(t)   & + \frac{1}{4}tF_2(t)  & - \frac{5}{32}t^2F_3(t)  & + \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\
x_4 & = & -iF_1(t)  & + \frac{1}{4}tF_2(t)  & - \frac{5}{32}it^2F_3(t) & - \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\
x_5 & = & iF_1(t)   & + \frac{1}{4}tF_2(t)  & + \frac{5}{32}it^2F_3(t) & - \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\
\end{matrix}

Это по существу тот же результат, что был получен методом дифференциальной резольвенты, разработанным Джеймсом Коклом (англ.) и Робертом Харлеем в 1860 году.

Дифференциальная резольвента[править | править вики-текст]

f[\phi(a)] = 0\,

Функция φ может быть определена так:


\begin{align}
\frac{d f[\phi(a)]}{da} = 0 \\[6pt]
\frac{d^2 f[\phi(a)]}{da^2} = 0 \\[6pt]
\frac{d^3 f[\phi(a)]}{da^3} = 0 \\[6pt]
\frac{d^4 f[\phi(a)]}{da^4} = 0
\end{align}

Тогда дифференциальная резольвента такова:


\frac{(256 - 3125a^4)}{1155}\frac{d^4\phi}{da^4} - \frac{6250a^3}{231}\frac{d^3\phi}{da^3} - \frac{4875a^2}{77}\frac{d^2\phi}{da^2} - \frac{2125a}{77}\frac{d\phi}{da} + \phi = 0

См. также[править | править вики-текст]

Внешние ссылки[править | править вики-текст]

  • M.L. Glasser. The Quadratic Formula Made Hard: A Less Radical Approach to Solving Equations. Статья доступна на arXiv.org здесь