Корень многочлена

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

$a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$

над полем $k$ — элемент $c\in k$, такой что выполняются два следующих равносильных условия:

• данный многочлен делится на многочлен $x-c$;
• подстановка элемента $c$ вместо $x$ обращает уравнение

$a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0$

в тождество.

Равносильность двух формулировок следует из Теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Свойства

• Число корней многочлена степени $n$ не превышает $n$ даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
• Всякий многочлен $p(x)$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .
  • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).
  • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами $p(x)$ можно записать в виде

$p(x) = a_n(x-c_1)(x-c_2)\ldots(x-c_n),$

где $c_1,c_2,\ldots,c_n$ — (в общем случае комплексные) корни многочлена $p(x)$, возможно с повторениями, при этом если среди корней $c_1,c_2,\ldots,c_n$ многочлена $p(x)$ встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

• Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени $n$, учитывая кратные корни кратное количество раз, равно $n$. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
• Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.

См. также

• Схема Горнера