Корень многочлена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

a_0+a_1x+\dots+a_nx^n

над полем k — это элемент c\in k (либо элемент расширения поля k), такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

  • данный многочлен делится на многочлен x-c;
  • подстановка элемента c вместо x обращает уравнение
a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0

в тождество.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень c имеет кратность m, если рассматриваемый многочлен делится на (x-c)^m и не делится на (x-c)^{m+1}. Например, многочлен ~x^2-2x+1 имеет единственный корень, равный 1, кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
  • Всякий многочлен p(x) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .
    • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).
    • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде
p(x) = a_n(x-c_1)(x-c_2)\ldots(x-c_n),
где c_1,c_2,\ldots,c_n — (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней c_1,c_2,\ldots,c_n многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.
  • Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n, учитывая кратные корни кратное количество раз, равно n. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
  • Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Нахождение корней[править | править исходный текст]

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени[en] и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов, было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году[1]. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов, корни уравнения всё же могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм[en].

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть определено при помощи теоремы Штурма.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]