Коэффициенты Клебша — Гордана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша — Гордона названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

Взаимодействие моментов импульса[править | править вики-текст]

См. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса J_1 и J_2, которые обладают квантовыми числами j_1 и m_1 (z-компонента) и j_2 и m_2. При этом m_1 и m_2 принимают значения m_1=[-j_1,\;\ldots,\;j_1] и m_2=[-j_2,\;\ldots,\;j_2] соответственно. Моменты импульса коммутируют [J_1,\;J_2]=0, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): \left|j_1,\;m_1\right\rangle или \left|j_2,\;m_2\right\rangle. В базисе \left|j_1,\;m_1\right\rangle момент J_1 принимает простой диагональный вид, аналогично J_2 в базисе \left|j_2,\;m_2\right\rangle.

При взаимодействии, оба момента импульса J_1 и J_2 складываются в общий момент \vec{J}=\vec{J_1}+\vec{J_2}, который обладает квантовыми числами J и M, принимающими следующие значения

|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant|j_1+j_2| и M=[-J,\;\ldots,\;J] (с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса J_1 и J_2, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle=\left|j_1,\;m_1\right\rangle\otimes\left|j_2,\;m_2\right\rangle.

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса  \vec{J} и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Базис собственных векторов суммарного момента импульса[править | править вики-текст]

Собственные вектора момента  \vec{J} однозначно определяются квантовыми числами J, M, j_1 и j_2. В базисе этих векторов суммарный момент J принимает простую диагональную форму. А именно

\vec{J}\,^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=J(J+1)\hbar^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle;
J_z\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=M\hbar\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle.

Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов \left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle в базис собственных векторов \left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle.

\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=\sum_{m_1,\;m_2}\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle.

Здесь \langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle являются коэффициентами Клебша — Гордана.

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана[править | править вики-текст]

  • Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий |j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2 и M=m_1+m_2:
\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2\;\wedge\;M=m_1+m_2.
  • Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:
\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\in\R.
  • Коэффициент Клебша — Гордана при M=J задают положительным:
\langle j_1,\;j_1;\;j_2,\;J-j_1\vert J,\;J,\;j_1,\;j_2\rangle>0.
  • Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при M=-M:
\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=(-1)^{j_1+j_2-J}\langle j_1,\;-m_1;\;j_2,\;-m_2\vert J,\;-M,\;j_1,\;j_2\rangle.
  • Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
\sum_{m_1,\;m_2}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J',\;M',\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}.
  • Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
\sum_{J,\;M}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m'_1;j_2,\;m'_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{m_1m'_1}\delta_{m_2m'_2}.

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана[править | править вики-текст]

Собственное состояние с J=j_1+j_2 и M=J непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

|j_1+j_2,\;j_1+j_2,\;j_1,\;j_2\rangle=|j_1,\;j_1;\;j_2,\;j_{2}\rangle.

Применением оператора уменьшения J_-=J_{1\,-}+J_{2\,-} можно получить состояния от |j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle до |j_1+j_2,\;-j_1-j_2,\;j_1,j_2\rangle, или же все состояния с J=j_1+j_2 и M=-J,\;\ldots,\;J=-j_1-j_2,\;\ldots,\;j_1+j_2.

Состояние |j_1+j_2-1,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle можно получить из условия ортогональности к состоянию |j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при M=J является положительным.

Применением оператора уменьшения к J=j_1+j_2-1 можно опять получить все состояния с M=-j_1-j_2+1,\;\ldots,\;j_1+j_2-1. Итеративно можно применять эту процедуру для всех J до J=|j_1-j_2|.

На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:

\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\sqrt{2j+1}\sqrt{\Delta_{j_1j_2j}}\sqrt{\dfrac{(j_1+m_1)!(j-m)!}{(j_1-m_1)!(j_2+m_2)!(j_2-m_2)!(j+m)!}}\times
\times\sum_{s=\max(m_1+m_2,\;j_1-j_2)}^j\dfrac{(-1)^{j_1+m_2-s}(j+s)!(j_2+s-m_1)!}{(j-s)!(s-m_1-m_2)!(s-j_1+j_2)!(j_1+j_2+s+1)!},

где

\Delta_{j_1j_2j}=\frac{(j_1+j_2-j)!(j_2+j-j_1)!(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1-j_2+j)!}.

Если j_1-j_2 — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям s, а если j_1-j_2 — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям s.

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)[править | править вики-текст]

Рассмотрим группу G и её представление. Выберем базисные вектора \psi_\mu^{(\alpha)} и \psi_\nu^{(\beta)} неприводимых представлений D^{(\alpha)} и D^{(\beta)} этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность f_k операторов \{\hat F^{(k)}_\chi\}_1^{f_k}, если в результате преобразований g, образующих группу G, компоненты тензора \hat F_\chi^{(k)} преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям D^{(k)} этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:

\tilde\hat F_\chi^{(k)}=\sum_{\chi'}D^{(k)}_{\chi'\chi}(g)\hat F_{\chi'}^{(k)}.

Векторы |\hat F^{(k)}_\chi\psi^{(\beta)}_\nu\rangle , где \chi=1,\;2,\;\ldots,\;f_k;\;\nu=1,\;2,\;\ldots,\;f_\beta образуют базис представления D^{(k)}\times D^{(\beta)}. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений D^{(\gamma)}, на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы G \langle k\chi,\;\beta\nu\vert \gamma\rho\rangle.

|\hat F_\chi^{(k)}\psi_\nu^{(\beta)}\rangle=\sum_{\gamma\rho}\langle k\chi,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{\hat F^{(k)}\psi^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.

Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений \hat D^{(\gamma)} в линейную комбинацию прямого произведения представлений \hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}.

\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma=\sum_{\mu,\;\nu}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)},

где V_\mu^{(\alpha)}, V_\nu^{(\beta)} — базисные векторы представлений \hat D^{(\alpha)},\;\hat D^{(\beta)}, а \{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma — базисные векторы представления \hat D^{(\gamma)}: \hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}=\sum_\gamma^\oplus a^{(\gamma)}\hat D^{(\gamma)}.

  • Из определения коэффициентов Клебша — Гордона следует: V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)}=\sum_{\gamma\rho}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.
  • Коэффициенты Клебша — Гордона образуют унитарную матрицу.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Таблица с примерами для некоторых значений j_1 и j_2 (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)

Литература[править | править вики-текст]

  • Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-ое изд. — Наука, 1976. — 664 с.