Коэффициент зацепления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коэффициент зацепления — целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам z^{k-1} и z^{n-k} в ориентируемом многообразии M размерности n, классы гомологий которых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях H_{k-1}(M,\mathbb Z) и H_{n-k}(M,\mathbb Z) соответственно.

Простейшим примером является коэффициент зацепления двух непересекающихся замкнутых кривых L_1,\ L_2 пространства \mathbb R^3, он равен степени отображения \phi\colon L_1\times L_2\to S^2 определяемого как

\phi(x,y)=(y-x)/|y-x|,\  x\in L_1,\  y\in L_2.

Коэффициент зацепления не изменяется при непрерывных деформациях кривых, если в течение этой деформации кривые не пересекаются — то есть является инвариантом этого зацепления. Если натянуть на одну кривую ориентированную поверхность, то индекс пересечения будет равен числу точек пересечения первой кривой с этой поверхностью взятых с соответствующими знаками.

Аналогично определяется коэффициент зацепления в случае замкнутых ориентированных многообразий M^{k-1} и M^{n-k}, расположенных в пространстве \mathbb R^n.

В общем случае коэффициент зацепления определяется через индекс пересечения следующим образом:

Если C^k есть k-мерная цепь для которой \partial C^k=az^{k-1}, и b есть индекс пересечения C^k с z^{n-k}, то индекс зацепления равен b/a. Это число не зависит от выбора плёнки C^k.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если поменять ролями циклы z^{k-1} и z^{n-k}, то коэффициент зацепления умножится на (-1)^{k(n-k)}.
  • Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то коэффициент зацепления не изменится. Этот факт является основой при интерпретации двойственности Александера с помощью зацеплений.
  • При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним коэффициент зацепления изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в H_{k-1}(M, Z) и H_{n-k}(M, Z) со значениями в факторгруппе \mathbb Q/\mathbb Z. Это спаривание устанавливает между ними двойственность Понтрягина.
    • В частности, для подгруппы кручения в H_m(M,\mathbb Z) в случае n=2m+l этим задаётся билинейная форма самозацеплений со значениями в \mathbb Q/\mathbb Z которая является гомотопическим инвариантом многообразия.