Корреляция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(Перенаправлено с Коэффициент корреляции)

Корреля́ция — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин). Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть отрицательным; положительная корреляция в таких условиях — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть положительным.

Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Содержание

1 Коэффициент корреляции
2 Корреляционный анализ
- 2.1 Ограничения корреляционного анализа
- 2.2 Область применения
3 Ложная корреляция
4 См. также

[править] Коэффициент корреляции

Коэффицие́нт корреля́ции или парный коэффицие́нт корреля́ции в теории вероятностей и статистике — это показатель характера взаимного стохастического влияния изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой R в математической статистике (r в статистике) и может принимать значения от −1 до +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 — связь слабая или вообще отсутствует. При коэффициенте корреляции равном по модулю единице говорят о функциональной связи, то есть изменения двух величин можно описать математической функцией.

В различных прикладных отраслях (социологии, демографии, медицине, физике, химии, экономике и др.) приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи.

[править] Коэффициент корреляции Пирсона

Для метрических величин применяется коэффициент корреляции Пирсона, точная формула которого была введена Фрэнсисом Гальтоном:

Пусть $X, Y$ — две случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой:

$\R_{X,Y} = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{D}[X]} \cdot \sqrt{\mathrm{D}[Y]}}$ ,

где $cov$ обозначает ковариацию, а $D$ — дисперсию, или, что то же самое,

$\R_{X,Y} = \frac{\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}X \cdot \mathbb{E}Y} {\sqrt{(\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}X)^2)} \cdot \sqrt{ (\mathbb{E}[Y^2]-(\mathbb{E}Y)^2)}}$ ,

где символ $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание.

Для графического представления подобной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного символа. Такой график называется «диаграммой рассеяния».

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или $τ$ (тау) Кендала. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими: четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, кода связь между ними линейна (однонаправлена).

[править] Коэффициент ранговой корреляции Кенделла

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кенделла:

$~\tau=\frac{2S}{(n(n-1)}$ ,

где $S = P - Q$ .

$P$ — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

$Q$ — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!)

$~\tau\in[-1;1]$

Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент корреляции Кенделла:

$~\tau=\frac{S}{\sqrt{[\frac{n(n-1)}{2}-U_x][\frac{n(n-1)}{2}-U_y}]}$

$U_x=\frac{\sum{t(t-1)}}{2}$

$U_y=\frac{\sum{t(t-1)}}{2}$

$t$ — число связанных рангов в ряду X и Y соответственно.

[править] Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Каждому показателю X и Y присваивается ранг. На основе полученных рангов расчитываются их разности $d$ и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:

$~\rho=1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$

[править] Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения.

$i=\frac{U-V}{U+V}$

U — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.

V — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.

[править] Коэффициент множественной ранговой корреляции (Конкордации)

$~W=\frac{12S}{m^2(n^3-n)}$

$~S=\sum^{n}_{i=1} {(\sum^{m}_{j=1} {R_ij})^2}-\frac{(\sum^{n}_{i=1} {\sum^{m}_{j=1} {R_ij}})^2}{n}$

$m$ — число групп, которые ранжируются.

$n$ — число переменных.

$R i j$ — ранг $i$ -фактора у $j$ -единицы.

Значимость:

$~\chi^2=m(n-1)*W$

$~{\chi^{2}}_{kp}=(\alpha;(n-1)(m-1))$

$~\chi^2 > {\chi^{2}}_{kp}$ , то гипотеза об отсутствии связи отвергается.

В случае наличия связанных рангов:

$~W=\frac{12S}{m^2(n^3-n)-m \sum^{m}_{j=1} {({t^3}_{j}-t_j)}}$

$~\chi^2=\frac{12S}{mn(n+1)-\frac{\sum^{m}_{j=1} {({t^3}_{j}-t_j)}}{n-1}}$

[править] Биссериальный коэффициент

[править] Свойства коэффициента корреляции

Неравенство Коши — Буняковского:

если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию $\langle X, Y \rangle = \mathrm{cov}(X, Y)$ , то норма случайной величины будет равна $\|X\| = \sqrt{\mathrm{D}[X]}$ , и следствием неравенства Коши — Буняковского будет:

$-1 \leqslant \R_{X,Y} \leqslant 1$ .

Коэффициент корреляции равен $\pm 1$ тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ линейно зависимы (исключая события нулевой вероятности, когда несколько точек «выбиваются» из прямой, отражающей линейную зависимость случайных величин):

$\R_{X,Y} = \pm 1 \Leftrightarrow Y = kX+b, k\neq0$ ,

где $k,b\in \mathbb{R}$ . Более того в этом случае знаки $\R_{X,Y}$ и

k

совпадают:

$\sgn \R_{X,Y} = \sgn k$ .

Если $X, Y$ независимые случайные величины, то $\R_{X,Y} = 0$ . Обратное в общем случае неверно.

[править] Корреляционный анализ

Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов корреляции между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков для установления между ними статистических взаимосвязей.

Цель корреляционного анализа — обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б.

Корреляция отражает лишь линейную зависимость величин, но не отражает их функциональной связности. Например, если вычислить коэффициент корреляции между величинами $A = s i n (x)$ и $B = c o s (x)$ , то он будет близок к нулю, т. е. зависимость между величинами отсутствует. Между тем, величины A и B очевидно связаны функционально по закону $s i n 2 (x) + c o s 2 (x) = 1$ .

[править] Ограничения корреляционного анализа

Графики распределений пар (x,y) с соответствующими коэффициентами корреляций x и y для каждого из них. Обратите внимание, что коэффициент корреляции отражает линейную зависимость (верхняя строка), но не описывает кривую зависимости (средняя строка), и совсем не подходит для описания сложных, нелинейных зависимостей (нижняя строка).

Применение возможно в случае наличия достаточного количества случаев для изучения: для конкретного вида коэффициента корреляции составляет от 25 до 100 пар наблюдений.
Второе ограничение вытекает из гипотезы корреляционного анализа, в которую заложена линейная зависимость переменных. Во многих случаях, когда достоверно известно, что зависимость существует, корреляционный анализ может не дать результатов просто ввиду того, что зависимость нелинейна (выражена, например, в виде параболы).
Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, какая из переменных предшествует или является причиной изменений, или что переменные вообще причинно связаны между собой, например, ввиду действия третьего фактора.

[править] Область применения

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие.

Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

[править] Ложная корреляция

Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи.

В современной количественной методологии социальных наук, фактически, произошел отказ от попыток установить причинно-следственные связи между наблюдаемыми переменными эмпирическими методами. Поэтому, когда исследователи в социальных науках говорят об установлении взаимосвязей между изучаемыми переменными, подразумевается либо общетеоретическое допущение, либо статистическая зависимость.

[править] См. также

Корреляция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Коэффициент корреляции

[править] Коэффициент корреляции Пирсона

[править] Коэффициент ранговой корреляции Кенделла

[править] Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

[править] Коэффициент корреляции знаков Фехнера

[править] Коэффициент множественной ранговой корреляции (Конкордации)

[править] Биссериальный коэффициент

[править] Свойства коэффициента корреляции

[править] Корреляционный анализ

[править] Ограничения корреляционного анализа

[править] Область применения

[править] Ложная корреляция

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках