Коядро (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий коядро — это понятие, двойственное к ядру — ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом образа. Интуитивно, при поиске решения уравнения f(x)=y коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять y, чтобы быть решением.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть C — категория с нулевыми морфизмами. Тогда коядро морфизма f : XY — это коуравнитель его и нулевого морфизма 0 : XY. Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:

Коядро f : XY — это морфизм q : YQ, такой что:

  • q o f — нулевой морфизм из X в Q;
Cokernel-01.png
  • Для любого морфизма q' : Y \to Q', такого что q' \circ f  — нулевой существует единственный морфизм u : Q \to Q', такой что следующая диаграмма коммутативна:
Cokernel-02.png

Как и другие универсальные конструкции, коядро существует не всегда, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Как и любые коуравнители, коядро — всегда эпиморфизм. Обратно, эпиморфизм называется нормальным (иногда — конормальным), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной, если любой эпиморфизм в ней нормален.

Специальные случаи[править | править исходный текст]

В абелевой категории образ и кообраз морфизма задаются как

\mathrm{im}(f) = \ker(\mathrm{coker} f)
\mathrm{coim}(f) = \mathrm{coker}(\ker f).

В частности, любой эпиморфизм является своим собственным коядром.

Литература[править | править исходный текст]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Paolo Aluffi Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — 2009, ISBN 0-8218-4781-3.