Кратный интеграл

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от $\ d > 1$ переменных. Например:

$\underbrace {\int\cdots\int}_{d}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\cdots dx_d$

Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.

Определение кратного интеграла

Пусть $B\sub \R^n$ — измеримое множество n-мерного вещественного пространства, $f:B\to\R$ — функция на $B$.

Разбиение $\sigma$ множества $B$ — это набор попарно непересекающихся подмножеств $\sigma = \left\{ {{U}_{i}}\subset B \right\},\, U_i \cap U_j =\varnothing \left( i\ne j \right)$, такое что $\cup_i U_i =B$.

Мелкость разбиения $\left| \sigma \right|$ — это наибольший диаметр множеств $U_i \in \sigma$.

$\left| \sigma \right|=\max \left\{ \operatorname{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}$

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (n-кратным) интегралом функции $f$ на множестве $B$ называется число $I$ (если оно существует), такое что, какой бы малой $\varepsilon$-окрестностью числа $I$ мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества $B$ и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

$\forall \varepsilon>0\;\; \exists \delta>0$ : $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ : $\left| \sigma \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \left| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon$

Здесь $\mu(U_i)$ — мера множества $U_i$.

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ и множества точек $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$ рассмотрим интегральную сумму

$\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^m f(\xi_i) \mu(U_i)$

Кратным интегралом функции $f:B\to \R$ называют предел

$I = \lim_{\left| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)$

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

• В векторном виде: $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I$,
• Либо ставят значок интеграла $\ d$ раз, записывают функцию и $\ d$ дифференциалов: $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1}}\cdots d{{x}_{d}}=I$.
• Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения $\iint$ и $\iiint$ соответственно.

В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.

Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.

В случае $n=1$ кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.

Существование кратного интеграла

Достаточные условия

• Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем.
  • Неограниченная функция на множестве может быть не интегрируемой, даже если она непрерывна. Например, функция $y=1/x$ не интегрируема на интервале $\left( 0;1 \right)$.

• Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве.

Критерий Дарбу

Пусть существуют верхний $I^*$ и нижний $I_*$ интегралы Дарбу функции на $G$. Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на $G$, причем:

$I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}$

Критерий Лебега

Пусть $G$ - измеримое по Жордану множество. Функция интегрируема на $G$, если:

• Функция ограничена на $G$.

• Функция непрерывна на $G\setminus E$, где множество $E$ имеет меру Лебега нуль.

Свойства кратных интегралов

• Линейность по функции. Пусть $\ G$ измеримо, функции $\ f$ и $\ g$ интегрируемы на $\ G$, тогда

$\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\mu \int\limits_{G}{gdX}$.

• Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества ${G}_{1}$ и $G_2$ измеримы, $G_1\cap G_2 = \varnothing$ и $G_1\cup G_2 = G$. Пусть также функция $f(X)$ определена и интегрируема на каждом из множеств $G_1$ и $G_2$. Тогда интеграл по $G$ существует и равен

$\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX$.

• Монотонность по функции. Пусть $G$ измеримо, функции $f$ и $g$ интегрируемы на $G$, причем $\forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right)$. Тогда

$\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX$.

• Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства.

$\left| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X) \right| dX$

• Интегральная теорема о среднем. Пусть $G$ — компакт, функция $f(X)$ непрерывна и интегрируема на $G$, тогда

$\exists Y\in G\colon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)$

• Постоянная функция $f(X) = c$ интегрируема на любом измеримом множестве $G$, причем

$\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)$.

• Как следствие, $\ \int_G dX = \mu(G)$.

Вычисление кратных интегралов

Сведение кратного интеграла к повторным

Пусть $D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ — измеримое множество, $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ — также измеримое множество, $f\left( X \right)$ определена и интегрируема на $\ G$. Тогда

• $\int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \equiv I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)$ существует всюду на $D$, кроме множества $D_0$ Лебеговой меры нуль ($D_0$ может быть пустым);

• существует $\int\limits_{D} \tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}} \equiv \int\limits_{D}{\left[ \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$, где

$\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D \backslash D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D_0, \end{cases}$

называемый повторным интегралом от функции $f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)$ по множеству $G$;

• $\int\limits_{G}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int\limits_{D}{\left[ \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$.

Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.

Замена переменных в кратном интеграле

Пусть задано биективное отображение ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$, переводящее область $\ {{D}'}$ в $\ D$:

$\left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & \ldots \\ & {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.$,

где $t$ — «старые» координаты, а $x$ — «новые» координаты. Пусть далее функции, задающие отображение, имеют в области $\ {{D}'}$ непрерывные частные производные первого порядка, а также ограниченный и отличный от нуля якобиан $\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}$. Тогда при условии существования интеграла $\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}$ справедлива формула замены переменных:

$\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}$

Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с $\ d = 2$.

$\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }$. Здесь $\ d\sigma$ — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$, где $\ dxdy$ — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция $f\left( x,y \right)$ принимает в области $\ D$ только положительные значения. Тогда двойной интеграл $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)d\sigma }$ численно равен объему $\ V$ вертикального цилиндрического тела, построенного на основании $\ D$ и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности $z=f\left( x,y \right)$.

Выражение двойного интеграла через полярные координаты

Переход из прямоугольных координат в полярные.

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ r$. Таким образом получаем, что

$\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$.

Здесь $\ rdrd\varphi$ является элементом площади в полярных координатах.

Пример перехода в произвольную систему координат

Посчитаем площадь области $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$.

Переход в полярную систему координат не сделает область проще:

${D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}$.

Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$.

Это преобразование переведет исходную область в следующую:

${D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0\le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.$.

Якобиан отображения:

$\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi }} & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=2r$.

Модуль Якобиана также равен $2r$.

Отсюда

$S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi$.

Результат верный, так как область $\ D$ ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле $S=\pi ab$. Путем подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.

Приложения двойных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Масса тонкой плоской пластинки плотностью $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Площадь куска поверхности$^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2}}}drd\varphi }$
Объем цилиндрического тела, стоящего на плоскости $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Момент инерции плоской фигуры$^{2)}$ относительно оси $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Момент инерции плоской фигуры$^{2)}$ относительно оси $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Координаты центра тяжести однородной пластинки$^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}{S}$ ${{y}_{c}}=\frac{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}{S}$	$\begin{align} & \frac{\iint\limits_{G}{xdxdy}}{S} \\ & \frac{\iint\limits_{G}{ydxdy}}{S} \\ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }}{S} \\ & \frac{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }}{S} \\ \end{align}$
Примечания	1) Область $G$ — проекция на плоскость $XOY$; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; $\gamma$ — угол между касательной плоскостью и плоскостью $XOY$. 2) Совмещенной с плоскостью $XOY$. 3) Или, что то же, относительно центра О.

Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с $\ d = 3$.

$\iiint\limits_{D}{f\left( P \right)d\upsilon }$ Здесь $\ d\upsilon$ — элемент объема в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах $\iiint f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$, где $\ dxdydz$ является элементом объема в прямоугольных координатах.

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

Объем в цилиндрических координатах

Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ r$. Таким образом получаем, что

$\iiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd\varphi dh}$

Здесь $rdrd\varphi dh$ является элементом объема в цилиндрических координатах.

Выражение тройного интеграла через сферические координаты

Объем в сферических координатах

Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ {{r}^{2}}\sin \theta$. Таким образом получаем, что

$\iiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }$

Здесь ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$ является элементом объема в сферических координатах.

Приложения тройных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Цилиндрические координаты	Сферические координаты
Объем тела	$V=\iiint\limits_{G}{d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Момент инерции геометрического тела относительно оси $OZ$	${{I}_{z}}=\iiint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Масса физического тела с плотностью $\mu$	$m=\iiint\limits_{G}{\mu d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Координаты центра тяжести однородного тела	$\begin{align} & {{x}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{xd\upsilon }}{V} \\ & {{y}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{yd\upsilon }}{V} \\ & {{z}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{zd\upsilon }}{V} \\ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{\iiint\limits_{G}{xdxdydz}}{V} \\ & \frac{\iiint\limits_{G}{ydxdydz}}{V} \\ & \frac{\iiint\limits_{G}{zdxdydz}}{V} \\ \end{align}$	—	—

См. также

• Дискретная теорема Грина
• Интеграл
• Мера множества
• Теорема Тонелли — Фубини
• Механические приложения интегралов

Литература

• Выгодский, М. Я. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике. — М.: Астрель, АСТ, 2005. — 991 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-17-012238-1, 5-271-03651-0
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 2. — 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5
• Кудрявцев, Л. Д. Глава 6. Интегральное исчисление функций многих переменных // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.