Кратный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 4 января 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требует 31 правка.

Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов взятых от $\ d > 1$ переменных. Например:

$\underbrace {\int\cdots\int}_{d}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\cdots dx_d$

Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.

Содержание

1 Определение кратного интеграла
- 1.1 Определение на языке
- 1.2 Определение с использованием интегральных сумм
2 Существование кратного интеграла
3 Свойства кратных интегралов
4 Вычисление кратных интегралов
- 4.1 Сведение кратного интеграла к повторным
- 4.2 Замена переменных в кратном интеграле
5 Двойной интеграл
6 Тройной интеграл
7 См. также
8 Литература

[править] Определение кратного интеграла

[править] Определение на $\varepsilon -\delta$ языке

Кратным интегралом (n-кратным) функции $f$ на компакте $B$ называется число $I$ (если оно существует), такое что $\forall \varepsilon>0\;\; \exists \delta=\delta(\varepsilon)\;$ , такое что $\forall\beta$ (разбиение) с $\lambda > \delta\;$ и любого выбора точек выполняется:

$|\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(B_i)\;-\;I|\;<\;\varepsilon$ .

[править] Определение с использованием интегральных сумм

Пусть множество $G\subset {{\mathbb{R}}^{d}}$ измеримо, функция $f\left( X \right)$ определена на $\ G$ . Рассмотрим разбиение множества $G:\tau =\left\{ {{G}_{k}} \right\}_{k=1}^{n}$ .

1) $\forall k=\overline{1,n}\ {{G}_{k}}$ измеримо,

2) $\forall k\ne j\ {{G}_{k}}\cap {{G}_{j}}=\varnothing$ ,

3) $\bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{G}_{k}}}=G$ .

Введем $\Delta \tau =\max \left\{ \operatorname{diam}\left( {{G}_{k}} \right),k=\overline{1,n} \right\}$ — мелкость разбиения $\ \tau$ , $\zeta =\left\{ {{X}^{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1,n}\ \ {{X}^{k}}\in {{G}_{k}}$ — набор промежуточных точек.

Рассмотрим интегральную сумму $\sigma \left( f,\tau ,\zeta \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{X}^{k}} \right)\mu \left( {{G}_{k}} \right)}$ , где $\mu \left( {{G}_{k}} \right)$ есть мера $\ {{G}_{k}}$ .

Если существует конечный предел $\ \underset{\Delta \tau \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( f,\tau ,\zeta \right)=I$ , то говорят, что $\ f$ интегрируема по Риману на множестве $\ G$ , и обозначают этот факт следующим образом:

1) В векторном виде: $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I$ ,

2) Либо ставят значок интеграла $\ d$ раз, записывают функцию и $\ d$ дифференциалов: $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1}}\cdots d{{x}_{d}}=I$ .

[править] Существование кратного интеграла

[править] Достаточные условия

Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем.

Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве.

[править] Критерий Дарбу

Пусть существуют верхний $I *$ и нижний $I *$ интегралы Дарбу функции на $G$ . Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на $G$ , причем:

$I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}$

[править] Критерий Лебега

Пусть $G$ - измеримое по Лебегу множество. Функция интегрируема на $G$ , если:

Функция ограничена на $G$ .

Функция непрерывна на $G\setminus E$ , где множество $E$ имеет меру Лебега нуль.

[править] Свойства кратных интегралов

[править] Линейность по функции

Пусть $\ G$ измеримо, функции $\ f$ и $\ g$ интегрируемы на $\ G$ , тогда

$\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\ \ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\mu \int\limits_{G}{gdX}$ .

[править] Аддитивность по множеству интегрирования

Пусть множества $\ {{G}_{1}}$ и ${{\ G}_{2}}$ измеримы, ${{G}_{1}}\cap {{G}_{2}}=\varnothing$ и ${{G}_{1}}\cup {{G}_{2}}=G$ . Пусть также функция $f\left( X \right)$ определена и интегрируема на каждом из множеств $\ {{G}_{1}}$ и $\ {{G}_{2}}$ . Тогда

$\exists \int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=\int\limits_{{{G}_{1}}}{f\left( X \right)dX}+\int\limits_{{{G}_{2}}}{f\left( X \right)dX}$ .

[править] Сохранение неравенств при интегрировании

Пусть $\ G$ измеримо, функции $\ f$ и $\ g$ интегрируемы на $\ G$ , причем $\forall X\in G\ \ f\left( X \right)\le g\left( X \right)$ . Тогда $\ \int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}\le \int\limits_{G}{g\left( X \right)dX}$ .

[править] Интегральное неравенство треугольника

Следствие предыдущего свойства. $\left| \int\limits_{G}{f\left( X \right)dX} \right|\le \int\limits_{G}{\left| f\left( X \right) \right|dX}$

[править] Интегральная теорема о среднем

Пусть $\ G$ — компакт, функция $f\left( X \right)$ непрерывна и интегрируема на $\ G$ , тогда $\exists Y\in G:\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=f\left( Y \right)\mu \left( G \right)$

[править] Прочие свойства

1) Если $f\left( X \right)\equiv c$ , то она интегрируема на любом измеримом множестве $\ G$ , причем $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=c\cdot \mu \left( G \right)$ .

2) Следствие 1). $\int\limits_{G}{dX}=\mu \left( G \right)$ .

[править] Вычисление кратных интегралов

[править] Сведение кратного интеграла к повторным

Пусть $D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ — измеримое множество, $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ — также измеримое множество, $f\left( X \right)$ определена и интегрируема на $\ G$ . Тогда

$\int\limits_{G}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int\limits_{D}{\left[ \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.

[править] Замена переменных в кратном интеграле

Пусть у нас задано биективное отображение ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ , переводящее область $\ {{D}'}$ в $\ D$ :

$\left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & \ldots \\ & {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.$ ,

где $t$ — «старые» координаты, а $x$ — «новые» координаты. Пусть также функции, задающие отображение, имеют в области $\ {{D}'}$ непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля Якобиан $\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}$ . Тогда при условии существования интеграла $\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}$ справедлива формула замены переменных:

$\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}$

[править] Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с $\ d = 2$ .

$\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }$ . Здесь $\ d\sigma$ — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$ , где $\ dxdy$ — элемент площади в прямоугольных координатах.

[править] Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция $f\left( x,y \right)$ принимает в области $\ D$ только положительные значения. Тогда двойной интеграл $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)d\sigma }$ численно равен объему $\ V$ вертикального цилиндрического тела, построенного на основании $\ D$ и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности $z=f\left( x,y \right)$ .

[править] Выражение двойного интеграла через полярные координаты

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ r$ . Таким образом получаем, что

$\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$ .

Здесь $\ rdrd\varphi$ является элементом площади в полярных координатах.

[править] Пример перехода в произвольную систему координат

Посчитаем площадь области $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$ .

Переход в полярную систему координат не сделает область проще:

${D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}$ .

Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$ .

Это преобразование переведет исходную область в следующую:

${D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0\le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.$ .

Якобиан отображения:

$\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi }} & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=2r$ .

Модуль Якобиана также равен $2 r$ .

Отсюда

$S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi$ .

Результат верный, так как область $\ D$ ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле $S = π a b$ . Путем подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.

[править] Приложения двойных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Масса тонкой плоской пластинки плотностью $μ$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Площадь куска поверхности $1)$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2}}}drd\varphi }$
Объем цилиндрического тела, стоящего на плоскости $X O Y$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Момент инерции плоской фигуры $2)$ относительно оси $O Z 3)$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Момент инерции плоской фигуры $2)$ относительно оси $O X 3)$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Координаты центра тяжести однородной пластинки $3)$	${{x}_{c}}=\frac{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}{S}$ ${{y}_{c}}=\frac{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}{S}$	$\begin{align} & \frac{\iint\limits_{G}{xdxdy}}{S} \\ & \frac{\iint\limits_{G}{ydxdy}}{S} \\ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }}{S} \\ & \frac{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }}{S} \\ \end{align}$
Примечания	1) Область $G$ — проекция на плоскость $X O Y$ ; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; $γ$ — угол между касательной плоскостью и плоскостью $X O Y$ . 2) Совмещенной с плоскостью $X O Y$ . 3) Или, что то же, относительно центра О.

[править] Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с $\ d = 3$ .

$\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\upsilon }$ Здесь $\ d\upsilon$ — элемент объема в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах $\iiint f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$ , где $\ dxdydz$ является элементом объема в прямоугольных координатах.

[править] Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

Объем в цилиндрических координатах

Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ r$ . Таким образом получаем, что

$\iint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd\varphi dh}$

Здесь $rdrd\varphi dh$ является элементом объема в цилиндрических координатах.

[править] Выражение тройного интеграла через сферические координаты

Объем в сферических координатах

Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ {{r}^{2}}\sin \theta$ . Таким образом получаем, что

$\iint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }$

Здесь ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$ является элементом объема в сферических координатах.

[править] Приложения тройных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Цилиндрические координаты	Сферические координаты
Объем тела	$V=\iiint\limits_{G}{d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Момент инерции геометрического тела относительно оси $O Z$	${{I}_{z}}=\iiint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Масса физического тела с плотностью $μ$	$m=\iiint\limits_{G}{\mu d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Координаты центра тяжести однородного тела	$\begin{align} & {{x}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{xd\upsilon }}{V} \\ & {{y}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{yd\upsilon }}{V} \\ & {{z}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{zd\upsilon }}{V} \\ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{\iiint\limits_{G}{xdxdydz}}{V} \\ & \frac{\iiint\limits_{G}{ydxdydz}}{V} \\ & \frac{\iiint\limits_{G}{zdxdydz}}{V} \\ \end{align}$	—	—

[править] См. также

[править] Литература

Выгодский, М. Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике. — М.: Астрель, АСТ, 2005. — 991 с. — 10000 экз. — ISBN 5-17-012238-1, 5-271-03651-0
Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 2. — 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5
Кудрявцев, Л. Д. Глава 6. Интегральное исчислений функций многих переменных // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.

Кратный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определение кратного интеграла

[править] Определение на $\varepsilon -\delta$ языке

[править] Определение с использованием интегральных сумм

[править] Существование кратного интеграла

[править] Достаточные условия

[править] Критерий Дарбу

[править] Критерий Лебега

[править] Свойства кратных интегралов

[править] Линейность по функции

[править] Аддитивность по множеству интегрирования

[править] Сохранение неравенств при интегрировании

[править] Интегральное неравенство треугольника

[править] Интегральная теорема о среднем

[править] Прочие свойства

[править] Вычисление кратных интегралов

[править] Сведение кратного интеграла к повторным

[править] Замена переменных в кратном интеграле

[править] Двойной интеграл

[править] Геометрический смысл двойного интеграла

[править] Выражение двойного интеграла через полярные координаты

[править] Пример перехода в произвольную систему координат

[править] Приложения двойных интегралов

[править] Тройной интеграл

[править] Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

[править] Выражение тройного интеграла через сферические координаты

[править] Приложения тройных интегралов

[править] См. также

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках

Кратный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определение кратного интеграла

[править] Определение на языке

[править] Определение с использованием интегральных сумм

[править] Существование кратного интеграла

[править] Достаточные условия

[править] Критерий Дарбу

[править] Критерий Лебега

[править] Свойства кратных интегралов

[править] Линейность по функции

[править] Аддитивность по множеству интегрирования

[править] Сохранение неравенств при интегрировании

[править] Интегральное неравенство треугольника

[править] Интегральная теорема о среднем

[править] Прочие свойства

[править] Вычисление кратных интегралов

[править] Сведение кратного интеграла к повторным

[править] Замена переменных в кратном интеграле

[править] Двойной интеграл

[править] Геометрический смысл двойного интеграла

[править] Выражение двойного интеграла через полярные координаты

[править] Пример перехода в произвольную систему координат

[править] Приложения двойных интегралов

[править] Тройной интеграл

[править] Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

[править] Выражение тройного интеграла через сферические координаты

[править] Приложения тройных интегралов

[править] См. также

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках

[править] Определение на $\varepsilon -\delta$ языке