Кратный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от \ d > 1 переменных. Например:

\underbrace {\int\cdots\int}_{d}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\cdots dx_d

Замечание: кратный интеграл − это определённый интеграл, при его вычислении всегда получается число.

Определение кратного интеграла[править | править вики-текст]

Пусть B\sub \R^n — измеримое[1] множество n-мерного вещественного пространства, f:B\to\R — функция на B.

Разбиение \sigma множества B — это набор попарно непересекающихся подмножеств \sigma = \left\{ {{U}_{i}}\subset B \right\},\, U_i \cap U_j =\varnothing \left( i\ne j \right), такое что \cup_i U_i =B.

Мелкость разбиения \left| \sigma  \right| — это наибольший диаметр множеств U_i \in \sigma.

\left| \sigma  \right|=\max \left\{ \operatorname{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (n-кратным) интегралом функции f на множестве B называется число I (если оно существует), такое что, какой бы малой \varepsilon-окрестностью числа I мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества B и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

\forall \varepsilon>0\;\; \exists \delta>0 : \sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m} : \left| \sigma  \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \left| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon

Здесь \mu(U_i) — мера множества U_i.

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения \sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m} и множества точек \xi = \{ \xi_i \in U_i \} рассмотрим интегральную сумму

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^m f(\xi_i) \mu(U_i)

Кратным интегралом функции f:B\to \R называют предел

I = \lim_{\left| \sigma  \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

  • В векторном виде: \int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I,
  • Либо ставят значок интеграла \ d раз, записывают функцию и \ d дифференциалов: \underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1}}\cdots d{{x}_{d}}=I.
  • Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения \iint и \iiint соответственно.

В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.

Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.

В случае n=1 кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.

Существование кратного интеграла[править | править вики-текст]

Достаточные условия
  • Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем.
    • Неограниченная функция на множестве может быть не интегрируемой, даже если она непрерывна. Например, функция y=1/x не интегрируема на интервале \left( 0;1 \right).
  • Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве.
Критерий Дарбу

Пусть существуют верхний I^* и нижний I_* интегралы Дарбу функции на G. Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на G, причем:

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}

Критерий Лебега

Пусть G - измеримое по Жордану множество. Функция интегрируема на G, если:

  • Функция ограничена на G.
  • Функция непрерывна на G\setminus E, где множество E имеет меру Лебега нуль.

Свойства кратных интегралов[править | править вики-текст]

  • Линейность по функции. Пусть \ G измеримо, функции \ f и \ g интегрируемы на \ G, тогда
\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\mu \int\limits_{G}{gdX}.
  • Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества {G}_{1} и G_2 измеримы, G_1\cap G_2 = \varnothing и G_1\cup G_2 = G. Пусть также функция f(X) определена и интегрируема на каждом из множеств G_1 и G_2. Тогда интеграл по G существует и равен
 \int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX.
  • Монотонность по функции. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, причем \forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right). Тогда
\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX .
  • Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства.
\left| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X) \right| dX
  • Интегральная теорема о среднем. Пусть G — компакт, функция f(X) непрерывна и интегрируема на G, тогда
\exists Y\in G\colon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)
  • Постоянная функция f(X) = c интегрируема на любом измеримом множестве G, причем
\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G).
  • Как следствие, \ \int_G dX = \mu(G).

Вычисление кратных интегралов[править | править вики-текст]

Сведение кратного интеграла к повторным[править | править вики-текст]

Пусть D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}} — измеримое множество, G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\} — также измеримое множество, f\left( X \right) определена и интегрируема на \ G. Тогда

  • \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \equiv I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) существует всюду на D, кроме множества D_0 Лебеговой меры нуль (D_0 может быть пустым);
  • существует \int\limits_{D} \tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}} \equiv \int\limits_{D}{\left[ \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}, где


  \tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv
  \begin{cases}
    I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D \backslash D_0 \\
    \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D_0,
  \end{cases}

называемый повторным интегралом от функции f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) по множеству G;

  • \int\limits_{G}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int\limits_{D}{\left[ \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}.

Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.

Замена переменных в кратном интеграле[править | править вики-текст]

Пусть задано биективное отображение {{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}, переводящее область \ {{D}'} в \ D:

\left\{ \begin{align}
   {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ 
  {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ 
  \ldots  \\ 
  {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ 
\end{align} \right.,

где t — «старые» координаты, а x — «новые» координаты. Пусть далее функции, задающие отображение, имеют в области \ {{D}'} непрерывные частные производные первого порядка, а также ограниченный и отличный от нуля якобиан \frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}. Тогда при условии существования интеграла \int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}} справедлива формула замены переменных:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

Использование симметрии[править | править вики-текст]

Если область интегрирования симметрична относительно начала координат по крайней мере для одной из переменных интегрирования и подынтегральная функция нечётна по этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинкам области интегрирования имеют одно и то же абсолютное значение, но противоположные знаки. Если подынтегральная функция чётна по этой переменной, интеграл равен удвоенному интегралу по одной из половинок области интегрирования, поскольку интегралы по каждой из половинок равны.

Пример 1. Пусть функция f(x,y) = 2 \sin(x)-3y^3+5 интегрируется по области

T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

кругу радиуса 1 с центром в начале координат.

Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \, dx \, dy
2sin(x) и 3y3 являются нечётными функциями и, кроме того, очевидно, что диск T симметричен как относительно оси x, так и по оси y. Таким образом, вклад в конечный результат даёт только константа 5.

Пример 2. Пусть функция f(xyz) = x exp(y2 + z2) интегрируется по сфере радиуса 2 с центром в начае координат,

T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.
"Шар" симметричен по всем трём осям, но достаточно проинтегрировать по оси x, чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку по этой переменной функция нечётна.

Двойной интеграл[править | править вики-текст]

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с \ d = 2 .

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }. Здесь \ d\sigma  — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: \iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}, где \ dxdy — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла[править | править вики-текст]

Пусть функция f\left( x,y \right) принимает в области \ D только положительные значения. Тогда двойной интеграл \iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)d\sigma } численно равен объему \ V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании \ D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z=f\left( x,y \right).

Выражение двойного интеграла через полярные координаты[править | править вики-текст]

Переход из прямоугольных координат в полярные.
Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

\left\{ \begin{align}
  & x=r\cos \varphi  \\ 
 & y=r\sin \varphi  \\ 
\end{align} \right.

Модуль якобиана отображения равен \ r. Таким образом получаем, что

\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi  \right)rdrd\varphi }.

Здесь \ rdrd\varphi является элементом площади в полярных координатах.

Пример перехода в произвольную систему координат[править | править вики-текст]

Посчитаем площадь области D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}.

Переход в полярную систему координат не сделает область проще:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi  \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}\varphi  \right)\le 1 \right\}.

Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:

\left\{ \begin{align}
  & x=r\cos \varphi  \\ 
 & y=2r\sin \varphi  \\ 
\end{align} \right..

Это преобразование переведет исходную область в следующую:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi  \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align}
  & 0\le \varphi \le 2\pi  \\ 
 & 0\le r\le 1 \\ 
\end{align} \right..

Якобиан отображения:

\left| \begin{matrix}
   {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}}  \\
   {{{{x}'}}_{\varphi }} & {{{{y}'}}_{\varphi }}  \\
\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}
   \cos \varphi  & 2\sin \varphi   \\
   -r\sin \varphi  & 2r\cos \varphi   \\
\end{matrix} \right|=2r.

Модуль Якобиана также равен 2r.

Отсюда

S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi .

Результат верный, так как область \ D ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле S=\pi ab. Путем подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.


Приложения двойных интегралов[править | править вики-текст]

Наименование величины Общее выражение Прямоугольные координаты Полярные координаты
Площадь плоской фигуры S=\iint\limits_{G}{d\sigma } \iint\limits_{G}{dxdy} \iint\limits_{G}{rdrd\varphi }
Масса тонкой плоской пластинки

плотностью \mu

m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma  \right)d\sigma } \iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy} \iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi  \right)rdrd\varphi }
Площадь куска поверхности^{1)} S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }} \iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy} \iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2}}}drd\varphi }
Объем цилиндрического тела,

стоящего на плоскости XOY

V=\iint\limits_{G}{zd\sigma } \iint\limits_{G}{zdxdy} \iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }
Момент инерции плоской фигуры^{2)}

относительно оси O{{Z}^{3)}}

{{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma } \iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy} \iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }
Момент инерции плоской фигуры^{2)}

относительно оси O{{X}^{3)}}

{{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma } \iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy} \iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }
Координаты центра масс

однородной пластинки^{3)}

{{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}

{{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}

\begin{align}
  & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ 
 & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \\ 
\end{align} \begin{align}
  & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ 
 & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ 
\end{align}
Примечания

1) Область G — проекция на плоскость XOY; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности;

\gamma  — угол между касательной плоскостью и плоскостью XOY.

2) Совмещенной с плоскостью XOY.

3) Или, что то же, относительно центра О.

Тройной интеграл[править | править вики-текст]

Тройным интегралом называют кратный интеграл с \ d = 3 :

\iiint\limits_{D}{f\left( P \right)dV }

где \ dV — элемент объема в рассматриваемых координатах.

Выражение тройного интеграла через прямоугольные координаты[править | править вики-текст]

В прямоугольных координатах тройной интеграл имеет следующий вид:

\iiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

где \ dxdydz — элемент объема в прямоугольных координатах.

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты[править | править вики-текст]

Объем в цилиндрических координатах

Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

\left\{ \begin{align}
  & x=r\cos \varphi  \\ 
 & y=r\sin \varphi  \\ 
 & z=h  \\ 
\end{align} \right.

Модуль якобиана отображения равен \ r. Таким образом получаем, что

\iiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd\varphi dh}

где rdrd\varphi dh — элемент объема в цилиндрических координатах.

Выражение тройного интеграла через сферические координаты[править | править вики-текст]

Объем в сферических координатах

Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

\left\{ \begin{align}
  & x=r\sin \theta \cos \varphi  \\ 
 & y=r\sin \theta \sin \varphi  \\ 
 & z=r\cos \theta  \\ 
\end{align} \right.

Модуль якобиана отображения равен \ {{r}^{2}}\sin \theta . Таким образом получаем, что

\iiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta  \right){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

где {{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta — элемент объема в сферических координатах.

Приложения тройных интегралов[править | править вики-текст]

Наименование величины Общее выражение Прямоугольные координаты Цилиндрические координаты Сферические координаты
Объем тела V=\iiint\limits_{G}{dV } \iiint\limits_{G}{dxdydz} \iiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh} \iiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }
Момент инерции геометрического

тела относительно оси OZ

{{I}_{z}}=\iiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV } \iiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz} \iiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh} \iiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }
Масса физического тела с плотностью \mu m=\iiint\limits_{G}{\mu dV } \iiint\limits_{G}{\mu dxdydz} \iiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh} \iiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }
Координаты центра масс

однородного тела

\begin{align}
 & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiint\limits_{G}{xdV }} \\ 
 & {{y}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiint\limits_{G}{ydV }} \\ 
 & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiint\limits_{G}{zdV }} \\ 
\end{align} \begin{align}
 & {\frac{1}{V}}{\iiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ 
 & {\frac{1}{V}}{\iiint\limits_{G}{ydxdydz}} \\ 
 & {\frac{1}{V}}{\iiint\limits_{G}{zdxdydz}} \\ 
\end{align}

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Здесь и всюду ниже, если не оговорено противное, измеримость множества понимается в Жордановом смысле.

Литература[править | править вики-текст]

  • Выгодский, М. Я. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике. — М.: Астрель, АСТ, 2005. — 991 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-17-012238-1, 5-271-03651-0
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 2. — 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5
  • Кудрявцев, Л. Д. Глава 6. Интегральное исчисление функций многих переменных // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.