Кратный интеграл Римана

Примечание: всюду в данной статье, где используется знак $\int$ имеется в виду (кратный) интеграл Римана $\left(R\right)\int$, если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.

Определение

Пусть $A$ - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение $T$ множества $A$ - это любой набор $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{m}$ измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и $\bigcup _{1}^{m}A_{i}=A$. Выберем точки $\xi _{i}\in A_{i},\ i=1,\ldots ,m,\ \xi =\left\{\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}$ - получили $(T,\xi )=\left\{A_{i},\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}$ - разбиение с отмеченными точками.

Пусть функция $f$ определена на $A$, тогда интегральной суммой называется $\sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f(\xi _{k})\mu A_{k}$.

Функция $f$ интегрируема по Риману в кратном смысле на $A$ и $I$ - её интеграл, если $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0$: для любого отмеченного разбиения $(T,\xi )$ с $\xi _{i}\in {}A_{i}$ и диаметром $dAi=\sup \limits _{x,\,y\in A_{i}}\rho (x,y)<\delta$ выполняется неравенство $\left|\sigma (f,T,\xi )-I\right|<\varepsilon$. Обозначается интеграл от функции $f$ на измеримом множестве $A$: $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$.

Некоторые свойства кратного интеграла Римана

1. Если функция $f$ интегрируема по Риману на измеримом множестве $A$, то $\exists \delta >0$, что функция $f$ ограничена на множестве $A_{\delta }=\left\{x\in A:\ \rho (x,{\mbox{int}}A)<\delta \right\}$, где ${\mbox{int}}A$ - внутренность $A$. (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности).
2. Если функция $f$ интегрируема по Риману на измеримом множестве $A$, функция $g$ определена на $A$ и $g(x)=f(x)$ на $A_{\delta }$ для некоторого $\delta >0$, то $g$ интегрируема по Риману на $A$ и $\int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$.
3. Линейность. Если $f\in R(A)$ (ограничена и интегрируема по Риману на $A$), то $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ функция $\alpha {}f\in R(A)$ и $\int \limits _{A}\alpha f\,d{\vec {x}}=\alpha \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$. Если $f,g\in R(A)$, то $f\pm g\in R(A)$ и $\int \limits _{A}(f\pm g)\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\pm \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
4. Аддитивность по множествам. Если $f\in R(A)$ и $f\in R(B)$, то $f\in R(A\cup B)$ и, если $\mu (A\cap B)=0$, то $\int \limits _{A\cup B}f\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}+\int \limits _{B}f\,d{\vec {x}}$. Первая часть следует из критерия Лебега.
5. Интегрируемость по подмножеству. Если $f\in R(A)$, $B$ - измеримое по Жордану подмножество $A$, то $f\in R(B)$. Следует из критерия Лебега.
6. Если $f,g\in R(A)$, то $f*g\in R(A)$. Следует из критерия Лебега.
7. Если $f\in R(A)$, функция $\varphi$ непрерывна на отрезке $[\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \varphi (f)\in R(A)$. Следует из критерия Лебега.
8. Если $f\in R(A)$, и $f$ изменить на множестве $B\subset A,\ \mu B=0$, то измененная функция ${\tilde {f}}$, при условии её ограниченности на $A$, также интегрируема по Риману на $A$ и $\int \limits _{A}{\tilde {f}}\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$.
9. Если $f,g\in R(A)$ и $f(x)\leqslant g(x)$ на $A$, то $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\leqslant \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$. Следует из свойств интеграла как предела по базе.
10. Если $f\in R(A)$, то $\left|f\right|\in R(A)$ и $\left|\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\right|\leqslant \int \limits _{A}\left|f\right|\,d{\vec {x}}$.
11. Если $f\in R(A)$, $f(x)\geqslant 0$ на $A$ и $f(x_{0})>0,\ x_{0}$ - внутренняя точка $A$ и точка непрерывности $f$, то $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}>0$.

Теоремы

• Критерий интегрируемости Дарбу.

Основная статья: Критерий Дарбу

Ограниченная функция $f$ на измеримом множестве $A$ интегрируема по Риману $\Leftrightarrow \ I_{*}(f)=I^{*}(f)$, и в случае равенства: $I_{*}(f)=I^{*}(f)=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$, где $I_{*}$ и $I^{*}$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу.

• Критерий интегрируемости Лебега.

Ограниченная $f$ на измеримом множестве $A$ интегрируема по Риману $\Leftrightarrow \ f$ непрерывна почти всюду на $A$.

• Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана.
  • Теорема 1. Пусть $A$ - измеримое множество в $\mathbb {R} ^{n},\ E\subset A$. Тогда измеримость по Жордану множества $E\ \Leftrightarrow$ характеристическая функция $\chi _{E}$ интегрируема по Риману на $A$, и в случае измеримости $E$ выполняется равенство: $\mu E=\int \limits _{A}\chi _{E}\,d{\vec {x}}$.
  • Теорема 2. Пусть $A$ - измеримое множество в $\mathbb {R} ^{n}$, функция $f({\vec {x}})\geqslant 0$ на $A$. Пусть множество $A_{f}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}$. Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции $f$ на множестве $A\ \Leftrightarrow$ множество $A_{f}$ измеримо по Жордану в $\mathbb {R} ^{n+1}$. При этом в случае измеримости $A_{f}$ выполняется равенство: $\mu ^{n+1}A_{f}=\int \limits _{A}\,fd{\vec {x}}$.
  • Следствие. Ограниченная на измеримом множестве $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ функция $f$ интегрируема по Риману на $A\ \Leftrightarrow$ множества $A_{f}^{+}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}$ и $A_{f}^{-}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ f({\vec {x}})\leqslant y\leqslant 0\right\}$ измеримы по Жордану в $\mathbb {R} ^{n+1}$. И в случае их измеримости выполняется равенство: $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}=\mu ^{(n+1)}A_{f}^{+}-\mu ^{(n+1)}A_{f}^{-}$.
• Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным.
  • Теорема. Пусть функция $f\in R(\Pi )$, где $\Pi$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n}$. Пусть $1\leqslant m<n$, для каждого ${\vec {\xi }}\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}$, обозначим через $I_{*}({\vec {\xi }})$ и $I^{*}({\vec {\xi }})$ нижний и верхний интегралы Дарбу от $f({\vec {x}}\,',{\vec {\xi }})$ по ${\vec {\xi }}\,'\in \mathbb {R} ^{m}$ на $\Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}$. Тогда $I_{*}({\vec {\xi }})$ и $I^{*}({\vec {\xi }})$ интегрируемы по Риману на $\Pi ^{''}$ и $\int \limits _{\Pi ^{''}}I_{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi ^{''}}I^{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$.
  • Следствие 1. Пусть $f\in R(\Pi )$, где $\Pi$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n.\ \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]$. Пусть $I({\vec {x}}\,''),\ {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}$, такая функция на $\Pi ^{''}$, что $I_{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant I({\vec {x}}\,'')\leqslant I^{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant$, где $I_{*}({\vec {x}}\,'')$ и $I^{*}({\vec {x}}\,'')$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')$ при фиксированном ${\vec {x}}\,''$ по ${\vec {x}}\,'$ на $\Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]$. Тогда функция $I({\vec {x}}\,'')$ интегрируема по Риману на $\Pi ^{''}$ и $\int \limits _{\Pi ^{''}}I({\vec {x}}\,')\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$.
  • Следствие 2. Пусть $f\in R(\Pi )$, где $\Pi$ - брус, являющийся произведением промежутков: $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n$. Если $\forall {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}$, функция $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')$ интегрируема по Риману на $\Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}$, то её интеграл $\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'$ интегрируем по Риману на $\Pi ^{''}$ и $\int \limits _{\Pi ^{''}}{\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$
  • Следствие 3. Пусть $f\in R(A)$. Обозначим через $A^{''}$ - проекцию множества $A$ на $\mathbb {R} ^{n-m},\ A^{''}=\left\{{\vec {x}}\,''\in \mathbb {R} ^{n-m}:\ \exists {\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m},\right.$ что $\left.({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n$. Для ${\vec {x}}\,''\in A$ обозначим через $A^{'}$ - сечение множества $A,\ A^{'}({\vec {x}}\,''=\left\{{\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m}:\ ({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\}$. Предположим, что $A^{''}$ и все $A^{'}$ - измеримые по Жордану множества в $\mathbb {R} ^{n-m}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ соответственно, причём для каждого ${\vec {x}}\,''\in A^{''}$ функция $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in R(A^{'}({\vec {x}}\,''))$. Тогда $\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'$ интегрируем на $A^{''}$ и $\int \limits _{A^{''}}{\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{A}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$.

См. также

• Кратный интеграл
• Несобственный кратный интеграл Римана
• Одномерный интеграл Римана
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега
• Интеграл Мак-Шейна
• Интеграл Курцвейля — Хенстока
• Теорема Фубини
• Формула Ньютона — Лейбница
• Интеграл Даниэля