Кривая доходности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кривая (бескупонной) доходности (англ. (zero-coupon) yield curve) или срочная структура процентных ставок (англ. term structure of interest rates) — зависимость (кривая зависимости) доходности однородных финансовых инструментов от их сроков (дюрации). Базовая кривая доходности строится по государственным ценным бумагам (G-кривая, G-Curve) различной срочности (в России — по ОФЗ). Также можно построить собственную кривую доходности конкретной организации по стоимости привлеченных ресурсов в зависимости от срока (дюрации).

Характеризует состояние долгового рынка, экономики в целом и используется при оценке процентного риска и принятии решений участниками рынка долговых ценных бумаг.

Основные понятия[править | править исходный текст]

Для дисконтной облигации срок до погашения (T=T(t), t - момент времени, от которой отсчитывается срок до даты погашения) совпадает с ее дюрацией. Обозначим цену облигации в каждый момент времени через p(t,T). Примем номинал за единицу, соответственно цена - в процентах от номинала. Ее доходность к погашению r(t,T) определяет средний темп роста цены облигации до номинала. То есть динамику цены дисконтной облигации можно описать следующей формулой

p(t',T(t'))=p(t,T)e^{(t'-t)r(t,T)}

Учитывая, что в момент t'=T цена должна быть равна 1 (номинал) получим выражение для так называемой спот-ставки или мгновенной ставки (доходности к погашению в непрерывном исчислении):

r(t,T)=-\frac {\ln p(t,T)}{T}

Величина r(t,T), рассматриваемая как функция от срока до погашения T и представляет собой срочную (временную) структуру процентных ставок, а графическое отображение - кривой доходности.

Форвардная ставка

Форма и теории кривой доходности[править | править исходный текст]

Файл:Нормальная кривая доходности.png
Пример нормальной кривой доходности


В обычной ситуации кривая доходности представляет собой монотонно возрастающую выпуклую вверх кривую. Это означает, во-первых, что с увеличением срока доходность растет (положительный наклон), во-вторых, скорость изменения доходности с увеличением срока — снижается (стремится к нулю). Это нормальная форма кривой. Однако форма кривой доходности может претерпевать существенные изменения в кризисных ситуациях. Например, при системном кризисе ликвидности в первую очередь существенно повышаются краткосрочные доходности, при меньшем повышении долгосрочной доходности. Тем самым формируется кривая доходности, в которой до определенного короткого срока доходность резко растет, достигает максимума и после этого срока доходность падает с увеличением срока (отрицательный наклон). Это так называемая "горбатая" форма кривой. В крайнем случае короткая часть кривой (возрастающая ставка) может отсутствовать вообще, то есть на любой даже очень короткий срок существует довольно высокая ставка и с увеличением срока ставка падает (форма кривой может стать вогнутой - выпуклой вниз). Это так называемая инверсная (перевернутая) форма кривой. Отрицательный наклон встречается обычно при высоких уровнях ставок (выше долгосрочных средних), а нормальная форма - при относительно низких ставках. В некоторых случаях кривая доходности может приобретать форму, близкую к прямой линии с положительным наклоном.

Еще одна особенность - чаще всего движение процентных ставок для различных сроков является однонаправленным, то есть если повышаются ставки- то все (возможно в разной степени), если понижаются, то тоже все.

Имеются несколько теорий (гипотез), объясняющих эти особенности кривой доходности.

Гипотеза ожиданий[править | править исходный текст]

Форма кривой обуславливается ожиданиями участников рынка относительно будущих ставок, то есть долгосрочные ставки определяются ожиданиями будущих краткосрочных ставок. Данные предположения появились в работах Бём-Баверка и Фишера в конце 19 века, а также в работе Фишера 1930 года. В рамках гипотезы чистых ожиданий (или чистой гипотезы ожиданий) предполагается, что форвардная ставка является несмещенной оценкой будущей спот-ставки, то есть форвардная премия равна нулю и спот-ставка на некоторый срок равна среднему арифметическому мгновенных форвардных ставок до этого срока (в пересчете на обычные ставки необходимо исходить из среднего геометрического).

Гипотеза ожиданий объясняет общую однонаправленность движений процентных ставок для различных сроков. На основе этой гипотезы также несложно объяснить инверсию кривой доходности. Когда краткосрочные ставки находятся ниже долгосрочной средней, то участники рынка ожидают их повышения в будущем, а когда находятся выше долгосрочной средней, то ожидания участников рынка состоят в том, что в будущем они снизятся. Соответственно долгосрочные ставки, как средние от ожидаемых краткосрочных ставок будут выше или ниже средних краткосрочных ставок. Кроме того, данная гипотеза объясняет также и существенно более высокую волатильность краткосрочных ставок по сравнению с долгосрочными (волатильность средней, как известно уменьшается с увеличением количества слагаемых).

Тем не менее, гипотеза ожиданий не может объяснить преимущественно положительный наклон кривой доходности (тогда приходится считать, что ставки преимущественно находятся ниже долгосрочной средней).

Начиная 1970 года появилась критика чистой гипотезы ожиданий в связи с некоторым несоответствием со стохастическими моделями динамики ставок. В частности, не могло быть выполнено условие неравенства Йенсена (Jensen). Гипотеза чистых ожиданий была модифицирована допущением ненулевой, но тем не менее постоянной во времени и одинаковой для всех сроков форвардной премии.

Теория предпочтения ликвидности[править | править исходный текст]

В 30-40-х годах XX века экономисты уже высказывали предположения о том, что форвардные ставки должны содержать положительную премию за риск или премию за срок. В рамках данной теории предполагается, что процентные ставки определяются не только ожиданиями участников рынка, но общим предпочтением ликвидности - участники рынка при прочих равных условиях предпочитают краткосрочные вложения средств и требуют дополнительной доходности (премии) за долгосрочное "замораживание" средств. Это премия за ценовые и прочие риски связанные с большим периодом вложений.

Таким образом, в рамках данной гипотезы форвардная премия не просто положительно, но и прямо зависит от срока, оставаясь тем не менее постоянной во времени. В таком случае отрицательный наклон кривой может быть только в случае, если рост краткосрочных ставок настолько большой, что перекрывает форвардную премию.

В дальнейшее развитие шло в направлении допущения изменения функции форвардной премии со временем в зависимости от тех или иных экзогенных факторов.

Теории сегментации рынка и "предпочитаемой среды"[править | править исходный текст]

Данная теория исходит из того, что рынок краткосрочных облигаций и рынок долгосрочных облигаций - это принципиально разные рынки, на которые идут разные участники рынка с заранее определенными целями. Поэтому доходности соответствующих облигаций формируются независимо друг от друга. В общем случае предполагается, что существуют некоторые сегменты рынка по различным срокам облигаций, которые не могут быть субститутами при инвестировании средств. Спрос на облигации с разными сроками предЪявляется различными группами инвесторов с разными целями. Впервые данная идея была высказана Кулбертсоном в 1957 году. Тем не менее данная гипотеза сама по себе неспособна объяснить однонаправленность движения ставок, а также тот факт, что инверсная кривая обычно имеет место при относительно высоких ставках, а нормальная - при низких ставках.

Кривая доходности и ценообразование облигаций[править | править исходный текст]

Параметрические модели кривой доходности[править | править исходный текст]

Модель Нельсона-Сигеля[править | править исходный текст]

Модель кривой доходности Нельсона-Сигеля основана на следующей модели форвардной ставки:

R^{forward}_{NS}=\beta_0+(\beta_1+\beta_2\frac {\tau}{t})e^{-\frac {t}{\tau}}

где \beta_0,\beta_1, \beta_2,\tau — параметры, которые должны быть оценены. Соответствующая непрерывно-начисляемая ставка равна

r_{NS}=\beta_0+(\beta_1+\beta_2)\frac {\tau}{t}(1-e^{-\frac {t}{\tau}})-\beta_2 e^{-\frac {t}{\tau}}

Модифицированная модель Нельсона-Сигеля[править | править исходный текст]

С целью более точной оценки кривой на коротких сроках (менее 3 лет) применяют следующую поправку к модели Нельсона-Сигеля:

r^*_{NS}=r_{NS}+g_1 e^{-t^2/2}+g_2 e^{-(t-1)^2/2}+g_3 e^{-(t-2)^2/2}

Величина поправки обычно мала, тем не менее она позволяет построить более точную кривую доходности

Модель Свенсона[править | править исходный текст]

Модель Свенсона является 6-и параметрической. Форвардная ставка отличается от модели Нельсона-Сигеля дополнительным слагаемым, который содержит два дополнительных параметра:

R^{forward}_{SV}=\beta_0+(\beta_1+\beta_2\frac {\tau_1}{t})e^{-\frac {t}{\tau_1}} +\beta_3 \frac {t}{\tau_2}e^{-\frac {t}{\tau_2}}

Модели эволюции процентных ставок и кривая доходности[править | править исходный текст]

Кривая доходности по однофакторной модели Васичека[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]