Кривая постоянной ширины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Примеры
Треугольник Рёло - кривая постоянной ширины. Стороны квадрата - опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна.

Кривая постоянной ширины a — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна a.

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно a — «ширине» кривой.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.

Примеры[править | править вики-текст]

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Длина кривой постоянной ширины a равна \pi a (теорема Барбье).
  • Центры вписанной и описанной окружностей в кривую постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
  • Фигура постоянной ширины a может вращаться в квадрате со стороной a всё время касаясь каждой из сторон.
  • Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
  • Любую плоскую фигуру диаметра a можно накрыть фигурой постоянной ширины a.

Применения[править | править вики-текст]

  • Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет[1] сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2 %).
  • Британские монеты достоинством 20[2] и 50 пенни имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
  • Двигатель Ванкеля использует[2] в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
  • Грейферный механизм, отвечающий за «дискретную» протяжку ленты в кинопроекторе «Луч-2», использует вращающийся внутри подвижного квадрата треугольник Рёло[2].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Dvuug.gif
  • Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого n-угольника, например, правильного n-угольника. Такие фигуры называются роторами[3].
    • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным \pi/3, является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
  • У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]