Криволинейный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 19 сентября 2008, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 29 правок.

Перейти к: навигация, поиск

Утверждения в этой статье приведены для пространства ${{\mathbb{R}}^{3}}$ , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Содержание

1 Определения
2 Криволинейный интеграл первого рода
- 2.1 Свойства
- 2.2 Вычисление
3 Криволинейный интеграл второго рода
- 3.1 Свойства
- 3.2 Вычисление
4 Взаимосвязь криволинейных интегралов
5 См. также

[править] Определения

Пусть $l$ — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

$l:\left\{ \begin{align} & x=x\left( t \right) \\ & y=y\left( t \right) \\ & z=z\left( t \right) \\ \end{align} \right.$ , $t\in \left[ a,b \right]$ (отрезок параметризации) – рассматриваем часть кривой.

Пусть $\theta =\left\{ {{t}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}$ – разбиение отрезка параметризации $\left[ a,b \right]$ , причем $a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<\ldots <{{t}_{n-1}}<{{t}_{n}}=b$ .

Зададим разбиение кривой $M=\left\{ {{M}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{M}_{k}}=\left( x\left( {{t}_{k}} \right),y\left( {{t}_{k}} \right),z\left( {{t}_{k}} \right) \right)\in l$ .

За $\ {{l}_{k}}$ обозначим часть кривой от точки $\ {{M}_{k}}$ до точки $\ {{M}_{k-1}}$ , $k=\overline{1,n}$ .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации $θ$ : $\Delta \theta =\underset{k=\overline{1,n}}{\mathop{\max }}\,\left\{ {{t}_{k}}-{{t}_{k-1}} \right\}$ .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации $l$ : $\xi =\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1,n}\ \ {{\xi }_{k}}\in \left[ {{t}_{k-1}},{{t}_{k}} \right]$ .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой $N=\left\{ {{N}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{N}_{k}}=\left( x\left( {{\xi }_{k}} \right),y\left( {{\xi }_{k}} \right),z\left( {{\xi }_{k}} \right) \right)\in {{l}_{k}}$ .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой $l$ : $f\left( x,y,z \right)$ , $P\left( x,y,z \right)$ , $Q\left( x,y,z \right)$ , $R\left( x,y,z \right)$ .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1) Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

$\sigma \left( f,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{N}_{k}} \right)\left| {{l}_{k}} \right|}$ .

2) Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

${{\sigma }_{1}}\left( P,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{P\left( {{N}_{k}} \right)\left( x\left( {{t}_{k}} \right)-x\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}$ ,

${{\sigma }_{2}}\left( Q,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Q\left( {{N}_{k}} \right)\left( y\left( {{t}_{k}} \right)-y\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}$ ,

${{\sigma }_{3}}\left( R,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{R\left( {{N}_{k}} \right)\left( z\left( {{t}_{k}} \right)-z\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}$ .

Если $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( f,M,N \right)=I$ , то говорят, что функция $f$ интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой $l$ , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции $f$ по кривой $l$ и обозначают $\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=I$ . Здесь $\ dl$ — дифференциал кривой.

Если $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{1}} \left( P,M,N \right)={{I}_{1}}$ , $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{2}} \left( Q,M,N \right)={{I}_{2}}$ , $\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{3}} \left( R,M,N \right)={{I}_{3}}$ , то говорят, что функции $P$ , $Q$ и $R$ интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой $l$ , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций $P$ , $Q$ и $R$ по кривой $l$ и обозначают

$\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}={{I}_{1}}$

$\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}={{I}_{2}}$

$\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{3}}$

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций $P$ , $Q$ и $R$ также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции $\vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\}$ и обозначают:

$\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx+Q\left( x,y,z \right)dy+R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}=\tilde{I}$ .

Если кривая $l$ замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка $\int{{}}$ принято писать $\oint{{}}$ .

[править] Криволинейный интеграл первого рода

[править] Свойства

1. Линейность:

$~\int\limits_l(\alpha f+\beta g)dl = \alpha\int\limits_l fdl + \beta\int\limits_l gdl$

2. Аддитивность: если $l_1\cap l_2$ в одной точке, то

$\int\limits_{l_1\cup l_2}fdl = \int\limits_{l_1}fdl + \int\limits_{l_2}fdl$

3. Монотонность: если $f \le g$ на $l$ , то

$\int\limits_l fdl \le \int\limits_l gdl$

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль $l$ функции $f$ :

$\exists \xi \in l:\int\limits_{l}{f}dl=f\left( \xi \right)\left| l \right|$

Очевидно, что: $\int\limits_{l}{d}l=\left| l \right|$ .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: $\int\limits_{AB}{f}dl=\int\limits_{BA}{f}dl$ .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

[править] Вычисление

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f\left( x,y,z \right)$ определена и интегрируема вдоль кривой $l$ в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right)\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}}}dt}$ .

Здесь точкой обозначена производная по $t$ : $\dot{x}={x}'\left( t \right)$ .

[править] Криволинейный интеграл второго рода

[править] Свойства

1. Линейность:

$\int\limits_{AB}(\alpha f+\beta g)dx = \alpha\int\limits_{AB}fdx + \beta\int\limits_{AB}gdx$

2. Аддитивность:

$\int\limits_{AB}fdx + \int\limits_{BC}fdx = \int\limits_{ABC}fdx$

3. Монотонность: если $f \le g$ на $Γ$ , то

$\int\limits_{AB}fdx \le \int\limits_{AB}gdx$

4. Оценка модуля:

$|\int\limits_{AB}f(x)dx| \le \int\limits_{AB}|f(x)|dx$

5. Теорема о среднем: если $f$ непрерывна на $Γ$ , то $\exists M\in\Gamma$ , такая что: $\int\limits_{AB}f(x)dx = f(M)\int\limits_{AB}dx$
6. $\int\limits_{BA}f(x,y,z)dx = -\int\limits_{AB}f(x,y,z)dx$

[править] Вычисление

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f\left( x,y,z \right)$ определена и интегрируема вдоль кривой $l$ в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){x}'\left( t \right)dt}$ ,

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){y}'\left( t \right)dt}$ ,

$\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){z}'\left( t \right)dt}$ .

Если обозначить за ${\vec{\tau }}$ касательный вектор к кривой $l$ , то нетрудно показать, что

${x}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl$

${y}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl$

${z}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl$

[править] Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), $\vec{\tau }\left( x,y,z \right)$ — касательный вектор кривой $l$ . Пусть также функция $f\left( x,y,z \right)$ и вектор-функция $\vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\}$ определены и интегрируемы вдоль кривой $l$ в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда