Криволинейный интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства {{\mathbb{R}}^{3}}, но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть l — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

l:\left\{ \begin{align}
  & x=x\left( t \right) \\ 
 & y=y\left( t \right) \\ 
 & z=z\left( t \right) \\ 
\end{align}\right.~~~~~, t\in\left[a,b\right] — (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть \theta =\left\{ {{t}_{k}} \right\}_{k=0}^{n} — разбиение отрезка параметризации \left[ a,b \right], причем a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<\ldots <{{t}_{n-1}}<{{t}_{n}}=b.

Зададим разбиение кривой M=\left\{ {{M}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{M}_{k}}=\left( x\left( {{t}_{k}} \right),y\left( {{t}_{k}} \right),z\left( {{t}_{k}} \right) \right)\in l.

За \ {{l}_{k}} обозначим часть кривой от точки \ {{M}_{k-1}} до точки \ {{M}_{k}}, k=\overline{1,n}.

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации \theta : \Delta \theta =\underset{k=\overline{1,n}}{\mathop{\max }}\,\left\{ {{t}_{k}}-{{t}_{k-1}} \right\}.

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации l: \xi =\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1,n}\ \ {{\xi }_{k}}\in \left[ {{t}_{k-1}},{{t}_{k}} \right].

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой N=\left\{ {{N}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{N}_{k}}=\left( x\left( {{\xi }_{k}} \right),y\left( {{\xi }_{k}} \right),z\left( {{\xi }_{k}} \right) \right)\in {{l}_{k}}.

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой l: f\left( x,y,z \right), P\left( x,y,z \right), Q\left( x,y,z \right), R\left( x,y,z \right).

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

  1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:
    \sigma \left( f,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{N}_{k}} \right)\left| {{l}_{k}} \right|}.
  1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:
    {{\sigma }_{1}}\left( P,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{P\left( {{N}_{k}} \right)\left( x\left( {{t}_{k}} \right)-x\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)},
    {{\sigma }_{2}}\left( Q,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Q\left( {{N}_{k}} \right)\left( y\left( {{t}_{k}} \right)-y\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)},
    {{\sigma }_{3}}\left( R,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{R\left( {{N}_{k}} \right)\left( z\left( {{t}_{k}} \right)-z\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}.

Если \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( f,M,N \right)=I, то говорят, что функция f интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой l, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции f по кривой l и обозначают \int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=I. Здесь \ dl — дифференциал кривой.

Если \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{1}} \left( P,M,N \right)={{I}_{1}}, \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{2}} \left( Q,M,N \right)={{I}_{2}}, \exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{3}} \left( R,M,N \right)={{I}_{3}}, то говорят, что функции P, Q и R интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой l, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций P, Q и R по кривой l и обозначают

\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}={{I}_{1}}
\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}={{I}_{2}}
\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{3}}

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций P, Q и R также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции \vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\} и обозначают:

\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx+Q\left( x,y,z \right)dy+R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}=\tilde{I}.

Если кривая l замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка \int{{}} принято писать \oint{{}}.

Криволинейный интеграл первого рода[править | править вики-текст]

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Линейность:
    ~\int\limits_l(\alpha f+\beta g)dl = \alpha\int\limits_l fdl + \beta\int\limits_l gdl
  2. Аддитивность: если l_1\cap l_2 в одной точке, то
    \int\limits_{l_1\cup l_2}fdl = \int\limits_{l_1}fdl + \int\limits_{l_2}fdl
  3. Монотонность: если f \le g на l, то
    \int\limits_l fdl \le \int\limits_l gdl
  4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль l функции f:
    \exists \xi \in l:\int\limits_{l}{f}dl=f\left( \xi  \right)\left| l \right|

Очевидно, что: \int\limits_{l}{d}l=\left| l \right|.

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: \int\limits_{AB}{f}dl=\int\limits_{BA}{f}dl.

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление[править | править вики-текст]

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f\left( x,y,z \right) определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right)\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}}}dt}.

Здесь точкой обозначена производная по t: \dot{x}={x}'\left( t \right).

Криволинейный интеграл второго рода[править | править вики-текст]

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

Свойства[править | править вики-текст]

1. Линейность:

\int\limits_{AB}(\alpha f+\beta g)dx = \alpha\int\limits_{AB}fdx + \beta\int\limits_{AB}gdx

2. Аддитивность:

\int\limits_{AB}fdx + \int\limits_{BC}fdx = \int\limits_{ABC}fdx

3. \int\limits_{BA}f(x,y,z)dx = -\int\limits_{AB}f(x,y,z)dx

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление[править | править вики-текст]

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция f\left( x,y,z \right) определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){x}'\left( t \right)dt},
\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){y}'\left( t \right)dt},
\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){z}'\left( t \right)dt}.

Если обозначить за {\vec{\tau }} единичный вектор касательной к кривой l, то нетрудно показать, что

{x}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl
{y}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl
{z}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl

Взаимосвязь криволинейных интегралов[править | править вики-текст]

Пусть l — гладкая, прямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), \vec{\tau }\left( x,y,z \right)=\left\{ \cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right) \right\} — единичный вектор, касательный к кривой l. Пусть также координаты вектор-функции \vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\} определены и интегрируемы вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

\int\limits_{l}{Pdx+Qdy+Rdz}=\int\limits_{l}{\left( \vec{a},\vec{\tau } \right)dl}
\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl
\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl
\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl


Механические приложения[править | править вики-текст]

A = \int\limits_{l} P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
  • Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z), выражается интегралом
m = \int\limits_{l} \mu(x, y, z) \, ds
  • Координаты (xc, yc, zc) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:
x_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} x\mu(x, y, z) \, ds,
y_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} y\mu(x, y, z) \, ds,
z_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} z\mu(x, y, z) \, ds,

где m — масса кривой l

I_x = \int\limits_{l} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds,
I_y = \int\limits_{l} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds,
I_z = \int\limits_{l} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z) \, ds
\mathbf{F} = \gamma m_0 \int\limits_{l} \frac{\mu(x, y, z)}{r^3} \, ds,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m0 — масса точки с координатами (x0, y0, z0); γ — постоянная тяготения,

\mathbf{r} = (x - x_0)\mathbf{i} + (y - y_0)\mathbf{j} + (z - z_0)\mathbf{k}, \quad \boldsymbol{r} = \left| \mathbf{r} \right|

См. также[править | править вики-текст]