Криптосистема Блюма — Гольдвассер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Криптосистема Блюма — Гольдвассер -- одна из схем шифрования с открытым ключом, основанная на сложности факторизации больших целых чисел.

Пусть m1, m2, … , mm — последовательность бит открытого текста. В качестве параметров криптосистемы выбираем n=pq — число Блюма, x0 — случайное число из Zn, взаимно простое с N.

В качестве открытого ключа для шифрования выступает n, в качестве секретного ключа для расшифрования — пара (p, q).

Для того, чтобы зашифровать открытый текст, обладатель открытого ключа выбирает x0. На основе BBS-генератора по вектору инициализации x0 получают последовательность квадратов x1, x2, … , xm, по которой получают последовательность младших бит b1, b2, …, bm. Путем гаммирования с этой последовательностью битов открытого текста и получают шифрованный текст ci=mi⊕bi, i=1,2,…,m.

Шифрограмма, которая пересылается обладателю секретного ключа, есть (c1,c2,…,cm, xm+1). После формирования шифрограммы последовательность xi, i=0,1,…,m уничтожается, и при следующем сеансе связи отправитель выбирает новое x0.

Получатель шифрограммы восстанавливает по xm+1 последовательность главных корней xm, … , x1 и последовательность их младших бит b1, b2, …, bm, а затем расшифровывает шифрограмму: mi=ci⊕bi , i=1,2,…,m.

Как происходит шифрование сообщений[править | править вики-текст]

Предположим, что Боб хочет послать сообщение «m» Алисе:

  1. Боб сначала кодирует m в виде строки из L бит(m_0, \dots, m_{L-1})
  2. Боб выбирает случайный элемент r, где 1 < r < N, и вычисляет x_0 = r^2~mod~N
  3. Боб использует псевдослучайные числа для генерации случайных чисел L, следующим образом:
    1. Для i=0 до L-1:
    2. Ряд b_i равен наименьшему значению бита x_i;
    3. Увеличиваем i ;
    4. Вычисляем x_i = (x_{i-1})^2~mod~N
  4. Вычисляем зашифрованный текст с помощью гамирования ключевого потока {\vec c} = {\vec m} \oplus {\vec b}, y=x_{0}^{2}~mod~N
  5. Боб отправляет зашифрованный текст(c_0, \dots, c_{L-1}), y

Как происходит расшифрование сообщений[править | править вики-текст]

Алиса получает (c_0, \dots, c_{L-1}), y. Она может восстановить «m», используя следующую процедуру:

  1. Используя разложение на множители (p, q) Алиса получает r_p = y^{((p+1)/4)^{L}}~mod~p и r_q = y^{((q+1)/4)^{L}}~mod~q.
  2. Вычисление начального источника x_0=q(q^{-1}~{mod}~p)r_p + p(p^{-1}~{mod}~q)r_q~{mod}~N
  3. Начиная с x_0 повторно вычисляем битовый вектор {\vec b} используя генератор BBS, как в алгоритм шифрования.
  4. Вычисляем текст с помощью гаммирование ключивым потоком с зашифрованным текстом {\vec m} = {\vec c} \oplus {\vec b}.

Алиса восстановила исходный текст m=(m_0, \dots, m_{L-1})

Эффективность[править | править вики-текст]

В зависимости от размера обычного текста BG может задействовать больше или меньше вычислительных ресурсов чем RSA. RSA использует оптимизированный способ шифрования, чтобы минимизировать время шифрования, шифрование RSA будет как правило выигрывать у BG во всём, кроме самых коротких сообщений. Поскольку время расшифрования RSA нестабильно, то возведение в степень по модулю может потребовать столько же ресурсов как для расшифровки BG зашифрованного текста той же самой длины. BG более эффективно к более длинным зашифрованным текстам, в которых RSA требует многократного отдельного шифрования. В этих случаях BG более эффективно.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • M. Blum, S. Goldwasser, «An Efficient Probabilistic Public Key Encryption Scheme which Hides All Partial Information», Proceedings of Advances in Cryptology — CRYPTO '84, pp. 289—299, Springer Verlag, 1985.
  • Menezes, Alfred; van Oorschot, Paul C.; and Vanstone, Scott A. Handbook of Applied Cryptography. CRC Press, October 1996. ISBN 0-8493-8523-7