Криптосистема Блюма — Гольдвассер

Криптосистема Блюма — Гольдвассер — одна из схем шифрования с открытым ключом, основанная на сложности факторизации больших целых чисел. Этот алгоритм шифрования был предложен Мануэлем Блюмом и Шафи Гольдвассер в 1984 году.

Пусть m₁, m₂, … , m_m — последовательность бит открытого текста. В качестве параметров криптосистемы выбираем n=pq — число Блюма, x₀ — случайное число из Z_n, взаимно простое с N.

В качестве открытого ключа для шифрования выступает n, в качестве секретного ключа для расшифрования — пара (p, q).

Для того, чтобы зашифровать открытый текст, обладатель открытого ключа выбирает x₀. На основе BBS-генератора по вектору инициализации x₀ получают последовательность квадратов x₁, x₂, … , x_m, по которой получают последовательность младших бит b₁, b₂, …, b_m. Путём гаммирования с этой последовательностью битов открытого текста и получают шифрованный текст c_i=m_i⊕b_i, i=1,2,…,m.

Шифрограмма, которая пересылается обладателю секретного ключа, есть (c₁,c₂,…,c_m, x_m+1). После формирования шифрограммы последовательность x_i, i=0,1,…,m уничтожается, и при следующем сеансе связи отправитель выбирает новое x₀.

Получатель шифрограммы восстанавливает по x_m+1 последовательность главных корней x_m, … , x₁ и последовательность их младших бит b₁, b₂, …, b_m, а затем расшифровывает шифрограмму: m_i=c_i⊕b_i , i=1,2,…,m.

Как происходит шифрование сообщений

Предположим, что Боб хочет послать сообщение «m» Алисе:

1. Боб сначала кодирует $m$ в виде строки из $L$ бит$(m_{0},\dots ,m_{L-1})$
2. Боб выбирает случайный элемент $r$, где $1<r<N$, и вычисляет $x_{0}=r^{2}~mod~N$
3. Боб использует псевдослучайные числа для генерации случайных чисел $L$, следующим образом:
   1. Для $i=0$ до $L-1$:
   2. Ряд $b_{i}$ равен наименьшему значению бита $x_{i}$;
   3. Увеличиваем $i$ ;
   4. Вычисляем $x_{i}=(x_{i-1})^{2}~mod~N$
4. Вычисляем зашифрованный текст с помощью гамирования ключевого потока ${\vec {c}}={\vec {m}}\oplus {\vec {b}},y=x_{L}=x_{L-1}^{2}~mod~N$
5. Боб отправляет зашифрованный текст$(c_{0},\dots ,c_{L-1}),y$

Как происходит расшифрование сообщений

Алиса получает $(c_{0},\dots ,c_{L-1}),y$. Она может восстановить «m», используя следующую процедуру:

1. Используя разложение на множители $(p,q)$ Алиса получает $r_{p}=y^{((p+1)/4)^{L}}~mod~p$ и $r_{q}=y^{((q+1)/4)^{L}}~mod~q$.
2. Вычисление начального источника $x_{0}=q(q^{-1}~{mod}~p)r_{p}+p(p^{-1}~{mod}~q)r_{q}~{mod}~N$
3. Начиная с $x_{0}$, повторно вычисляем битовый вектор ${\vec {b}}$ используя генератор BBS, как в алгоритм шифрования.
4. Вычисляем текст с помощью гаммирования ключевым потоком с зашифрованным текстом ${\vec {m}}={\vec {c}}\oplus {\vec {b}}$.

Алиса восстановила исходный текст $m=(m_{0},\dots ,m_{L-1})$

Эффективность

В зависимости от размера обычного текста BG может задействовать больше или меньше вычислительных ресурсов чем RSA. RSA использует оптимизированный способ шифрования, чтобы минимизировать время шифрования, шифрование RSA будет как правило выигрывать у BG во всём, кроме самых коротких сообщений. Поскольку время расшифрования RSA нестабильно, то возведение в степень по модулю может потребовать столько же ресурсов как для расшифровки BG зашифрованного текста той же самой длины. BG более эффективно к более длинным зашифрованным текстам, в которых RSA требует многократного отдельного шифрования. В этих случаях BG более эффективно.

Ссылки

• M. Blum, S. Goldwasser, «An Efficient Probabilistic Public Key Encryption Scheme which Hides All Partial Information», Proceedings of Advances in Cryptology — CRYPTO '84, pp. 289—299, Springer Verlag, 1985.
• Menezes, Alfred; van Oorschot, Paul C.; and Vanstone, Scott A. Handbook of Applied Cryptography. CRC Press, October 1996. ISBN 0-8493-8523-7