Критерий Андерсона — Дарлинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Классический непараметрический критерий согласия Андерсона — Дарлинга [1, 2] предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону (о согласии эмпирического распределения  F_n(x) и теоретического закона  F(x,\theta) ) , то есть для проверки гипотез вида  H_0: F_n(x)=F(x,\theta) с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии  \Omega^2 Андерсона — Дарлинга [1, 2] используется статистика вида:

 S_\Omega = -n-2\sum_{i=1}^n \left\{ \frac {2i-1} {2n} \ln  (F(x_i,\theta)) + \left( 1- \frac {2i-1} {2n} \right) \ln (1- F(x_i,\theta) ) \right\} ,

где  n  — объём выборки,  x_1, x_2, ... , x_n  — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика критерия подчиняется распределению вида  a2(S) [2, 3, 4].

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики. Процентные точки распределения  a2(S) приведены в [3, 4].

Проверка сложных гипотез[править | править вики-текст]

При проверке сложных гипотез вида  H_0 : F_n(x) \in \left\{ F(x,\theta) ,  \theta \in \Theta \right\} , где оценка  \hat \theta скалярного или векторного параметра распределения  F(x,\theta) вычисляется по той же самой выборке, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения [5, 4] (распределением статистики при справедливости  H_0 уже не будет являться распределение  a2(S) ).

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона  F(x,\theta) , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе  H_0 ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness of fit» criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 193—212.
  2. Anderson T. W., Darling D. A. A test of goodness of fit // J. Amer. Stist. Assoc., 1954. — V. 29. — P. 765—769.
  3. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
  4. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. — М.: Изд-во стандартов, 2002. — 64 с.
  5. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat. — 1955. — V. 26. — P. 189—211.

Ссылки[править | править вики-текст]

О применении критерия при проверке сложных гипотез:

О мощности критериев согласия: