Критерий Дарбина — Уотсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Критерий Дарбина—Уотсона (или DW-критерий) — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Статистика Дарбина—Уотсона[править | править вики-текст]

Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле[1][2]:

\begin{align}
& DW=\frac{\sum\limits_{t=2}^T(e_t-e_{t-1})^2}{\sum\limits^T_{t=1}e_t^2} =  \frac{\sum\limits_{t=2}^T e_t^2 + \sum\limits_{t=2}^{T} e^2_{t-1} - 2\sum\limits_{t=2}^T e_t e_{t-1}}{\sum\limits_{t=1}^T e_t^2} = \\
& = 2 - 2\frac{\sum\limits_{t=2}^T e_t e_{t-1}}{\sum\limits_{t=1}^T e_t^2} \approx2(1-\rho_1),\end{align}

где \rho_1 — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии \vec Y = \boldsymbol{X}\vec \beta + \vec\varepsilon ошибки специфицированы как \varepsilon_t = \rho\varepsilon_{t-1} + v_t, где v_t распределено, как белый шум. \mathbb{E}(\varepsilon_t) = 0, \mathop{\mathrm{Var}}(\varepsilon_t) = \frac{\sigma^2_v}{1-\rho^2}, а \mathop{\mathrm{Corr}}(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-1}) = \rho, где |\rho|<1.

В случае отсутствия автокорреляции DW=2; при положительной автокорреляции DW стремится к нулю, а при отрицательной — к 4:

\begin{cases}\rho_1=0\Rightarrow DW=2; \\
\rho_1=1\Rightarrow DW=0; \\
\rho_1=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины DW с теоретическими значениями d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости \alpha.

  1. Если DW<d_L, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
  2. Если DW>d_U, то гипотеза не отвергается;
  3. Если d_L<DW<d_U, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение DW превышает 2, то с d_L и d_U сравнивается не сам коэффициент DW, а выражение (4-DW)[2].

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают[2].

Недостатки[править | править вики-текст]

  1. Неприменим к моделям авторегрессии, а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH-моделям.
  2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
  3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок[2].
  4. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная DW, была рассчитана Fairbrother).
  5. Дисперсия коэффициентов будет расти, если v имеет распределение, отличающееся от нормального.

h-критерий Дарбина[править | править вики-текст]

Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется h-критерий Дарбина.

h-статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть Y_{t-1}. На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами[2]:

h=\left(1-\frac{1}{2}DW\right)\sqrt{\frac{n}{1-n\cdot \mathop{\mathrm{Var}}(\hat\gamma)}},

где

  • n — число наблюдений в модели;
  • \mathop{\mathrm{Var}}(\hat\gamma) — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной Y_{t-1}.

При увеличении объёма выборки распределение h-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения[3].

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при Y_{t-1} велика, то процедура невыполнима.

Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данных[править | править вики-текст]

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

dw_p=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{t=2}^T(e_{i,\;t}-e_{i,\;t-1})^2}{\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{t=1}^T e_{i,\;t}^2}.

В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов[4].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А. Эконометрия. — Новосибирск: СО РАН, 2005. — 744 с. — ISBN 5-7692-0755-8.
  2. 1 2 3 4 5 Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И.. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3..
  3. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. — М.: Юнити-Дана, 2003—2004. — 311 с. — ISBN 8-86225-458-7..
  4. Ратникова Т. А. Введение в эконометрический анализ панельных данных (рус.) // Экономический журнал ВШЭ. — 2006. — № 3. — С. 492—519..

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Значения критерия Дарбина — Уотсона