Критерий Дарбу

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сумма Дарбу[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим разбиение

\tau =\left\{ {{x}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b.

Введем обозначения

{{m}_{k}}=\inf \left\{ f\left( x \right):x\in \left[ {{x}_{k-1}},{{x}_{k}} \right] \right\},k=\overline{1,n},
{{M}_{k}}=\sup \left\{ f\left( x \right):x\in \left[ {{x}_{k-1}},{{x}_{k}} \right] \right\},k=\overline{1,n}.

Наконец, рассмотрим суммы

s\left( f,\tau  \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{m}_{k}}\left( {{x}_{k}}-{{x}_{k-1}} \right)} – нижняя сумма Дарбу,
S\left( f,\tau  \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{M}_{k}}\left( {{x}_{k}}-{{x}_{k-1}} \right)} - верхняя сумма Дарбу.

Свойства сумм Дарбу[править | править вики-текст]

  • Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу на заданном разбиении.
\forall \tau \ s\left( f,\tau  \right)\le S\left( f,\tau  \right);
Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения
  • При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек, нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться. Верхняя сумма Дарбу же при добавлении точек к имеющемуся разбиению никак не может увеличиться.
\forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}:{{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}}\ \left\{ \begin{align}
  & s\left( f,{{\tau }_{1}} \right)\le s\left( f,{{\tau }_{2}} \right) \\ 
 & S\left( f,{{\tau }_{1}} \right)\ge S\left( f,{{\tau }_{2}} \right) \\ 
\end{align} \right.,
{{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}} означает, что {{\tau }_{2}} есть измельчение разбиения {{\tau }_{1}};
  • Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.
\forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}\ s\left( f,{{\tau }_{1}} \right)\le S\left( f,{{\tau }_{2}} \right),
Следствие: нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние - снизу.
\forall \tau \ s\left( f,\tau  \right)\le {{I}_{*}}\left( f \right)\le {{I}^{*}}\left( f \right)\le S\left( f,\tau  \right);
  • Пусть \sigma(f, \tau, \zeta) — интегральная сумма. Тогда \forall \tau
s(f, \tau) = \inf_{\zeta} \sigma(f, \tau, \zeta),
S(f, \tau) = \sup_{\zeta} \sigma(f, \tau, \zeta).
  • При увеличении количества точек разбиения верхняя сумма не увеличивается, а нижняя не уменьшается.

Интеграл Дарбу[править | править вики-текст]

Верхним интегралом Дарбу называют число

{{I}^{*}}\left( f \right)=\inf \left\{ S\left( f,\tau  \right):\tau  \right\},

где \tau — некоторое разбиение множества, а S\left( f,\tau  \right) — его верхняя сумма Дарбу.

Соответственно нижним интегралом Дарбу называют:

{{I}_{*}}\left( f \right)=\sup \left\{ s\left( f,\tau  \right):\tau  \right\},

где s\left( f,\tau  \right) — нижняя сумма Дарбу.

Критерий Дарбу интегрируемости функции[править | править вики-текст]

Приведенные утверждения даны для функции одной переменной.

Пусть вещественнозначная функция f\left( x \right) определена и ограничена на отрезке \left[ a,b \right]. Пусть {{I}^{*}}\left( f \right) и {{I}_{*}}\left( f \right) - верхний и нижний интегралы Дарбу функции f\left( x \right) на заданном отрезке соответственно. Тогда следующие 3 условия эквивалентны:

Обобщения[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 10. Определенный интеграл // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5
  • Кудрявцев, Л. Д. Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 1.