Критерий Эйзенштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть a(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n — многочлен над факториальным кольцом R (n>0), и для некоторого неприводимого элемента p выполняются следующие условия:

  • p\not|a_n (то есть a_n не делится на p),
  • ~p~|a_i для любого i от 0 до n-1,
  • p^2\not|a_0.

Тогда многочлен a(x) неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел \Z, а F — поле рациональных чисел \mathbb Q.

Доказательство[править | править вики-текст]

Предположим обратное: a(x)=f(x)g(x), где f(x)=b_0+b_1x+...+b_kx^k и g(x)=c_0+c_1x+...+c_mx^m многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

a_0=b_0c_0

По условию p|a_0 и R факториально, поэтому либо p|b_0 либо p|c_0, но не то и другое вместе ввиду того, что p^2\not|a_0. Пусть p|b_0 и p\not|c_0. Все коэффициенты f(x) не могут делиться на p, так как иначе бы это было бы верно для a(x). Пусть i — минимальный индекс, для которого b_i не делится на p. Отсюда следует:

a_i=b_ic_0+b_{i-1}c_1+...

Так как p|a_i и p|b_j для всех j<i то p|b_ic_0, но это невозможно, так как по условию p\not|c_0 и p\not|b_i. Теорема доказана.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Многочлен x^3+2 неприводим над \mathbb Q.
  • Многочлен деления круга f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+1 неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен f(x+1)=\frac {(x+1)^p - 1}{(x+1) - 1}=x^{p-1}+C_p^1x^{p-2}+...C_p^{p-1}, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на p, так как p|C_p^k=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}, а последний коэффициент C_p^{p-1}=p к тому же не делится на p^2, то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
  • Многочлен x^3+4 над \mathbb Q является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это p=2, но 4 делится на 2^2 — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.