Критерий согласия Купера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Непараметрический критерий согласия Купера[1] является развитием критерия согласия Колмогорова и был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида  H_0: F_n(x)=F(x,\theta) с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Купера используется статистика вида:  V_n = D^{+}_n + D^{-}_n , где

 D^{+}_n = \max { \left( \frac {i} {n} - F(x_i,\theta) \right) }  ,    D^{-}_n = \max { \left( F(x_i,\theta) - \frac {i-1} {n} \right) }  ,  i = \bar {1,n}  ,  

 n  — объём выборки,  x_1, x_2, ... , x_n  — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика  \sqrt {n} V_n в пределе подчиняется[1] распределению:

 G(v)=1- \sum_{m=1}^\infty 2(4m^2 v^2-1) e^ {-2m^2 v^2 } .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида[2]

 V=V_n \left( \sqrt {n} +0,155+0,24/ \sqrt {n} \right) ,

или модификацию статистики вида[3]

 V_n^ {mod} =\sqrt {n} \left(D^+_n + D^-_n \right) + 1/(3 \sqrt {n} ) .

В первом случае отличием распределения статистики от предельного закона можно пренебречь при  n>20 , во втором — при  n>30 .

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотез[править | править исходный текст]

При проверке сложных гипотез вида  H_0 : F_n(x) \in \left\{ F(x,\theta) ,  \theta \in \Theta \right\} , где оценка  \hat \theta скалярного или векторного параметра распределения  F(x,\theta) вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Купера (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения[4].

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона  F(x,\theta) , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе  H_0 ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя[5].

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 Kuiper N. H. Tests concerning random points on a circle // Proc. Konikl. Nederl. Akad. Van Wettenschappen. 1960. Ser. A. V. 63. P. 38 — 47.
  2. Stephens M. A. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons // J. American Statistic. Associa¬tion. 1974. V. 69. N 347. P. 730—737.
  3. Лемешко Б. Ю., Горбунова А. А. О применении и мощности непараметрических критериев согласия Купера, Ватсона и Жанга // Измерительная техника. 2013. № 5. — С.3-9.
  4. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. — P.189-211.
  5. Лемешко Б. Ю., Горбунова А. А. Применение непараметрических критериев согласия Купера и Ватсона при проверке сложных гипотез // Измерительная техника. 2013. № 9. — С.14-21.