Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости[править | править вики-текст]

Передаточная функция динамической системы \ T(s) может быть представлена в виде дроби

\ T(s) = \frac{N(s)}{D(s)}.

Устойчивость \ T(s) достигается тогда, когда все её полюса находятся в левой полуплоскости на плоскости корней. В правой полуплоскости их быть не должно. Если \ T(s) получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией \ F(s) = \frac{A(s)}{B(s)}, тогда полюса передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции \ 1 + F(s). Выражение \ 1 + F(s) = 0 называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши[править | править вики-текст]

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур  \Gamma_s\ , охватывающий на \ s-плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость \ F(s)) при помощи функции \ F(s) таким образом, что получившийся контур  \Gamma_{F(s)}\ будет охватывать центр \ F(S)-плоскости \ n раз, причём \ n = z - p, где \ z — число нулей, а \ p — число полюсов функции \ F(s). Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура  \Gamma_s\ , а отрицательным — противоположное ему. ...

Формулировка критерия[править | править вики-текст]

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

  • участок, идущий вверх по оси \ j\omega\ , от 0 - j\infty до 0 + j\infty.
  • полуокружность радиусом r \to \infty, начинающаяся в точке 0 + j\infty и достигающая конца в точке 0 - j\infty по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы \ F(s), в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции \ F(s) минус количество полюсов \ F(s) в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку \ -1 + j0, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции \ 1+F(s). Заметив, что функция \ 1+F(s) имеет такие же полюса, что и функция \ F(s), а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть  \Gamma_s\  — замкнутый контур в комплексной плоскости, \ p — число полюсов \ F(s), охваченных контуром  \Gamma_s\ , а \ z — число нулей \ F(s), охваченных  \Gamma_s\  — то есть число полюсов \ T(s), охваченных  \Gamma_s\ . Получившийся контур в \ F(s)-плоскости,  \Gamma_{F(s)}\ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку \ -1 + j0 \ n раз, где \ n = z - p.

Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

  • Если разомкнутая система с передаточной функцией \ F(s) устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
  • Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов \ F(s) вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов \ F(s) в правой полуплоскости.
  • Количество дополнительных охватов (больше, чем \ n + p ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Михайлов А. В. О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8.
  • Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126-147.
  • Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4