Круговой многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Круговой многочлен, или многочлен деления кругамногочлен вида

\Phi_n(x)=\prod_k(x-\xi^k_n)

где

\xi^k_n=\cos\frac{2\pi k}n+i\sin\frac{2\pi k}n

представляет собой корень степени n из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам k, меньшим n, и взаимно простым с n.

Свойства[править | править вики-текст]

\prod_{d|n} \Phi_{d}(x)=x^n - 1
где произведение берется по всем положительным делителям d числа n, включая единицу и само n. Это можно переписать как

\Phi_n(x)=\frac{x^n - 1}{\prod_{d|n, \, d<n} \Phi_d(x)}.
\Phi_n(x)=\prod_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}
  • В частности, если n=p — простое, то
\Phi_n(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1.
  • Коэффициенты кругового многочлена являются целыми числами.
  • Над полем рациональных чисел все многочлены \Phi_n(x) неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы.
    • Например: над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение:
\Phi_{12}(x)=x^4-x^2+1=(x^2+5x+1)(x^2-5x+1).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]