Круг Мора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Круг Мора для объёмного напряженного состояния

Круг Мора — это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Названа в честь Отто Кристиана Мора. Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений.

Первым человеком, создавшим графическое представление напряжений для продольных и поперечных напряжений изгибаемой горизонтальной балки был Карл Кульман. Вклад Мора заключается в использовании этого подхода для плоского и объёмного напряжённых состояний и определение критерия прочности, основанного на круговой диаграмме напряжений[1].

Физический смысл[править | править вики-текст]

Внутренние усилия возникают между частицами сплошного деформируемого тела в качестве реакции на прикладываемые внешние силы: поверхностные и объёмные. Эта реакция согласуется со вторым законом Ньютона, приложенным к частицам материальных объектов. Величина интенсивности этих внутренних сил называется механическим напряжением. Т.к. тело считается сплошным, эти внутренние силы распределяются непрерывно по всему объёму рассматриваемого объекта.

В инженерном деле распределение напряжений в объекте определяется через анализ его напряжённо-деформируемого состояния для получения значений напряжений в каждой материальной точке объекта. Согласно Коши напряжение в любой точке сплошного материального тела полностью определяется девятью компонентами напряжений \sigma_{ij} тензора напряжений, \boldsymbol\sigma:

\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]

\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]

После того как распределение напряжений было определено относительно координатной системы (x,y), может быть необходимо определить компоненты тензора напряжений в частной материальной точке P относительно повернутой координатной системы (x',y'), т.е. напряжения, действующие на площадке с различной ориентацией, проходящей через интересующую нас точку. Например, может быть необходимо найти максимальное нормальное напряжение или максимальное касательное напряжение и направление, в котором они действуют. Для решения этой задачи необходимо совершить преобразование тензора напряжений. Графическим представлением этого преобразования тензора напряжений является круг Мора.

Уравнения круга Мора[править | править вики-текст]

Компоненты напряжений, действующих на плоскости (площадке), проходящей через материальную точку P бесконечно малого материального тела, находящегося в состоянии равновесия

Для получения уравнения круга Мора для плоского напряжённого состояния рассматривается двумерное бесконечно малое материальное тело, находящееся вокруг материальной точки P с единичной площадкой в направлении, параллельном плоскости y-z, т.е. перпендикулярно к зрителю.

Исходя из условий равновесия бесконечно малого материального тела величины нормального напряжения \sigma_\mathrm{n} и касательного напряжения \tau_\mathrm{n} равны:

\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta
\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta

Эти два уравнения являются параметрическим представлением круга Мора.

Вывод параметрических уравнений круга Мора[править | править вики-текст]

Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, образованной путем сечения элементарного параллелепипеда наклонной площадкой. Нормальное напряжение \sigma_\mathrm{n} действует на площадке площадью dA. Из равенства проекций сил на ось \sigma_\mathrm{n} (ось x') получаем:

\ \begin{align}
\sum F_{x'} &= \sigma_\mathrm{n} dA - \sigma_x dA \cos ^2 \theta - \sigma_y dA \sin ^2 \theta - \tau_{xy} dA \cos \theta \sin \theta - \tau_{xy} dA \sin \theta \cos \theta = 0 \\
\sigma_\mathrm{n} &= \sigma_x \cos ^2 \theta +  \sigma_y \sin ^2 \theta + 2\tau_{xy} \sin \theta \cos \theta \\
\end{align}

Известно, что

 \cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad  \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad \text{,} \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta

Тогда можно получить

\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta

Касательное напряжение \tau_\mathrm{n} также действует на площадке площадью dA. Из равенства проекций сил на ось \tau_\mathrm{n} (ось y') получаем:

\ \begin{align}
\sum F_{y'} &= \tau_\mathrm{n} dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \sin \theta \cos \theta - \tau_{xy} dA \cos ^2 \theta + \tau_{xy} dA \sin ^2 \theta = 0 \\
\tau_\mathrm{n} &= -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\
\end{align}

Известно, что

 \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad \text{,} \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta

Тогда можно получить

\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta