Круг сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Круг сходимости степенного ряда \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n — это круг вида

D=\{z: |z-z_0| <R \}, z\in\mathbb C,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при |z-z_0|>R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда R = 0, и может совпадать со всей плоскостью переменного z, когда R = \infty.

Радиус сходимости[править | править вики-текст]

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

 {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — Адамара[править | править вики-текст]

Для степенного ряда

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов a_{k(i)} удовлетворяет


\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

для некоторого фиксированного \delta > 0, круг с центром z_0 и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также[править | править вики-текст]