Круг сходимости

Круг сходимости степенного ряда

$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

— круг вида

$D=\{z: |z-z_0| <R \}$, $z\in\mathbb C$,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при $|z-z_0|>R$, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда $R = 0$, и может совпадать со всей плоскостью переменного $z$, когда $R = \infty$.

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

${1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}$

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского-Адамара

Для степенного ряда

$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов $a_{k(i)}$ удовлетворяет

$\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,$

для некоторого фиксированного $\delta > 0$, круг с центром $z_0$ и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

• Аналитическое продолжение