Кусочно-линейная функция

Кусочно-линейная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Формальное определение и задание

Пусть заданы $x_1<x_2<\ldots<x_n$ — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов $(-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty)$ отдельной формулой. Записывают это в виде: $f(x)= \begin{cases} k_0 x+b_0,\quad x<x_1\\ k_1 x+b_1,\quad x_1<x<x_2\\ \cdots\\ k_n x+b_n,\quad x_n<x \end{cases}$

Если к тому же выполнены условия согласования

$a_ix_i+b_i=a_{i+1}x_i+b_{i+1}=f(x_i)$ при $i=1,2,\ldots,n$,

то кусочно-линейная функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Альтернативное задание

Можно доказать, что любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать некоторой формулой вида

$f(x)=a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|$.

При этом все коэффициенты, кроме b, можно выразить через угловые коэффициенты наклона прямых на отдельных интервалах:

$c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2}$, при $i=1,2,\ldots,n$

$a=\frac{k_0+k_n}{2}$

Свойства

• Любую непрерывную функцию можно аппроксимировать сколь угодно близко кусочно-линейной функцией (в непрерывной метрике).

Источники

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 272-274. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Кусочно-линейные функции в словаре

Ссылки

• Задачи по теме Кусочно-линейные функции