Кусочно-линейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кусочно-линейная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Формальное определение и задание[править | править вики-текст]

Пусть заданы x_1<x_2<\ldots<x_n — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов (-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty) отдельной формулой. Записывают это в виде: 
f(x)=
\begin{cases}
  k_0 x+b_0,\quad x<x_1\\
  k_1 x+b_1,\quad x_1<x<x_2\\
  \cdots\\
  k_n x+b_n,\quad x_n<x
\end{cases}

Если к тому же выполнены условия согласования

k_ix_i+b_i=k_{i+1}x_i+b_{i+1}=f(x_i) при i=1,2,\ldots,n-1,

то кусочно-линейная функция будет непрерывной. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Альтернативное задание[править | править вики-текст]

Можно доказать, что любую непрерывную кусочно-линейную функцию можно задать некоторой формулой вида

f(x)=a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|.

При этом все коэффициенты, кроме b, можно выразить через угловые коэффициенты наклона прямых на отдельных интервалах:

c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2}, при i=1,2,\ldots,n
a=\frac{k_0+k_n}{2}

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любую непрерывную функцию можно аппроксимировать сколь угодно близко кусочно-линейной функцией (в непрерывной метрике).

Источники[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]