Лемма Гронуолла — Беллмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения[1][2]. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть

  • \quad u(t) \ge 0 \
  • \quad f(t) \ge 0 \
  • \quad t \ge t_0 \quad
  • \quad u(t), f(t) \in C[t_0,\infty),\quad,

при этом для \quad t \ge t_0 \quad выполняется неравенство:

  • u(t) \le c + \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1, \qquad (1),

где \quad c — положительная константа. В таком случае при \quad t \ge t_0 \quad имеем

  • u(t) \le \, c \, exp \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1. \qquad (2).

Доказательство[править | править исходный текст]

Из неравенства (1) получим:

  • \frac{u(t)}{ c\ + \ \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1} \, \le 1,

и

  • \frac{f(t)u(t)}{c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 }\, \le \, f(t), \qquad (3)

А так как

  • \frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \bigg] = f(t)u(t),,

то проинтегрировав неравенство (3) в пределах от \quad t_0 до \quad t, получим:

  • \ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1\bigg] \, - \, \ln c  \, \le \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1.

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

  • u(t)\, \le \, c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \, \le \, c \, \exp \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1,,

что и требовалось доказать.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

Ссылки[править | править исходный текст]

  • PlanetMath
  • Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.