Лемма Гронуолла — Беллмана

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

• $\quad u(t) \ge 0 \$
• $\quad f(t) \ge 0 \$
• $\quad t \ge t_0 \quad$
• $\quad u(t), f(t) \in C[t_0,\infty),\quad$,

при этом для $\quad t \ge t_0 \quad$ выполняется неравенство:

• $u(t) \le c + \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1, \qquad (1)$,

где $\quad c$ — положительная константа. В таком случае при $\quad t \ge t_0 \quad$ имеем

• $u(t) \le \, c \, exp \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1. \qquad (2)$.

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

• $\frac{u(t)}{ c\ + \ \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1} \, \le 1,$

и

• $\frac{f(t)u(t)}{c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 }\, \le \, f(t), \qquad (3)$

А так как

• $\frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \bigg] = f(t)u(t),$,

то проинтегрировав неравенство (3) в пределах от $\quad t_0$ до $\quad t$, получим:

• $\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1\bigg] \, - \, \ln c \, \le \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1.$

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

• $u(t)\, \le \, c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \, \le \, c \, \exp \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1,$,

что и требовалось доказать.

Ссылки

• PlanetMath
• Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.