Лемма Йонеды

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий, лемма Йонеды — это абстрактный результат о функторе Hom. Он является далеким обобщением теоремы Кэли в теории групп (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в Set. Лемма Йонеды — важный инструмент, позволивший получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Общий случай леммы[править | править вики-текст]

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта A можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый

h^A = \mathrm{Hom}(A,-).

Пусть F — произвольный функтор из C в Set. Лемма Йонеды утверждает, что:

для любого объекта A категории C, естественные преобразования из hA в F находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами F(A):

\mathrm{Nat}(h^A,F) \cong F(A).

Для данного естественного преобразования Φ из hA в F соответствующий элемент F(A) — это u = \Phi_A(\mathrm{id}_A), то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы Йонеды рассматривает ковариантный функтор

h_A = \mathrm{Hom}(-, A),

отправляющий X во множество Hom(X,A). Для произвольного контравариантного функтора G из C в Set

\mathrm{Nat}(h_A,G) \cong G(A).

Замечание: для запоминания индексов удобно использовать мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

Proof of Yoneda’s lemma

Диаграмма показывает, что естественное преобразование Φ полностью определяется \Phi_A(\mathrm{id}_A)=u, так как для любого морфизма f : AX

\Phi_X(f) = (Ff)u.\,

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого uF(A) (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая совершенно аналогично.

Вложение Йонеды[править | править вики-текст]

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор F также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

\mathrm{Nat}(h^A,h^B) \cong \mathrm{Hom}(B,A).

Отображение каждого объекта A категории C в соответствующий hom-функтор hA = Hom(A,-) и каждый морфизм f : BA в соответствующее естественное преобразование Hom(f,-) задает контравариантный функтор h- из C в SetC, либо ковариантный функтор

h^{-}\colon \mathcal C^{\text{op}} \to \mathbf{Set}^\mathcal C.

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что h- — вполне унивалентный функтор, то есть задает вложение Cop в категорию функторов в Set.

В контравариантном случае по лемме Йонеды

\mathrm{Nat}(h_A,h_B) \cong \mathrm{Hom}(A,B).

Следовательно, h- задает вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды)

h_{-}\colon \mathcal C \to \mathbf{Set}^{\mathcal C^{\mathrm{op}}}.

Литература[править | править вики-текст]