Лемма Фату

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Формулировки из функционального анализа[править | править исходный текст]

Пусть фиксировано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu). Допускается \mu(X)=\infty. Далее, пусть \{f_n\}_{n=1}^{\infty} — последовательность неотрицательных[1] измеримых функций на X. Тогда справедливо следующее неравенство для нижних пределов

\int\limits_X {\liminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\liminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx).

Обратите внимание: в формуле функции могут достигать бесконечности, их интегралы тоже могут быть бесконечными.


Если, кроме того, \{f_n\}_{n=1}^{\infty} — суммируемы, имеют предел f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) почти всюду и имеют ограниченные в совокупности интегралы

\int\limits_X f_n(x)\mu(dx)\leq K,\forall n,

K — некоторое фиксированное число, тогда f(x) — суммируема и справедливо неравенство:

\int\limits_X f(x)\mu(dx)\leq K

Формулировка из теории вероятностей[править | править исходный текст]

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов \Omega, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин \{X_n\}_{n=1}^{\infty}. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

\mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Если \{f_n\}_{n=1}^{\infty} обладает более слабым условием — ограниченностью снизу какой-либо суммируемой функцией: f_n(x)\geq f(x)\, , n=1,2,\ldots, то теорему можно применить к последовательности  f_n-f


Литература[править | править исходный текст]