Лемма Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Предыстория[править | править вики-текст]

У Ньютона этот факт упоминался как т.н. принцип остановки[1]:

« Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад.
»

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах[2].

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть функция f:M \subset \R \to \R, имеет во внутренней точке области определения x \in M^0 локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные f'_+(x_0),f'_-(x_0) конечные или бесконечные. Тогда

В частности, если функция f имеет в x_0 производную, то

~f'(x_0) = 0.

Доказательство[править | править вики-текст]

Предположим, что f(x_0) = \max_{x \in (a,b)} f(x). Тогда \forall x \in (a,b) : f(x) \leqslant f(x_0).

Поэтому:

f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0 - 0}\left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right) \geqslant 0,
f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0 + 0}\left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right) \leqslant 0.

Если производная f'(x_0) определена, то получаем

0 \leqslant f'_-(x_0) = f'(x_0) = f'_+(x_0) \leqslant 0,

то есть f'(x_0) = 0.

Замечание[править | править вики-текст]

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть f(x) = |x|. Тогда x = 0 — точка локального минимума, и
f'_+(0) = 1 \geqslant 0, f'_-(0) = -1 \leqslant 0.
  • Пусть f(x) = x^2. Тогда x = 0 — точка локального минимума, и
f'(0) = 0.
  • Пусть f(x) = x^3. Тогда
f'(0) = 0,
но точка x = 0 не является точкой локального экстремума.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Глава XIV. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа // Основы математического анализа. — 4-е изд. — СПб.: «Лань», 2002. — Т. 1. — С. 423. — 448 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — 5000 экз. — ISBN 5-9511-0010-0.
  2. Исаак Ньютон Примечания переводчика // Исаак Ньютон. Математические работы = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 318. — 452 с. — (Классики естествознания).